微積分と物理​/極限 のバックアップ差分(No.3)

Unity学習帳2冊目微積分と物理 / 極限 のバックアップ差分(No.3)
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2: 2015-05-16 (土) 19:01:38 osinko ソース 3: 2015-07-04 (土) 22:14:25 osinko ソース
Deleted an attach file: limit1.png at 2015-07-04 (土) 21:48:44 at 2015-07-04 (土) 21:56:08
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TITLE:極限 TITLE:極限
-＜メモ＞+#contents 
 + 
 +**関数の極限 [#b17997b1] 
 + 
 +関数の式を扱う際、ある存在しない値を計算する際に極限が必要になる事があります 
 +一例をあげると下記のような場合です 
 + 
 +\(\displaystyle f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-6x+8 }{ x-2 } \) 
 + 
 +この関数は\(x\)が\(2\)の時、分母に\(0\)の除算が発生し計算不能となります 
 + 
 +\(\displaystyle f(2)=\frac { 2^{ 2 }-6\times 2+8 }{ 2-2 } =\frac { 2^{ 2 }-6\times 2+8 }{ 0 } \quad \rightarrow \quad 計算不能 \) 
 + 
 +この関数を普通に展開して計算すると 
 + 
 +\(\displaystyle f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-6x+8 }{ x-2 } \quad \quad \rightarrow \quad \quad f(x)=\frac { \left( x-2 \right) \left( x-4 \right)  }{ x-2 } \quad \quad \rightarrow \quad \quad f(x)=x-4\) 
 + 
 +となります。この展開した関数に対して\(x\)を\(2\)にして計算すると\(-2\)という値を得る事が出来ます。つまり\(x\)が\(2\)の時の値は存在しないが「確実に存在する」のです 
 + 
 +これをプロットすると以下の表に、グラフにすると以下の図の様になります 
 +|\(x\)|0|1|2|3|4|5| 
 +|\(f(x)\)|-4|-3|  |-1|0|1| 
 +|\(x-4\)|-4|-3|-2|-1|0|1| 
 +&ref(limit1.png); 
 +このグラフの(2,-2)が白丸になっているのは、この一点だけがグラフの線から抜けている（存在しない）事を表しています 
 +ただ、この点はほぼ確実にある事が我々には判っています。こういう状況の時に極限を使います 
 + 
 +\(\displaystyle \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-6x+8 }{ x-2 } =-2 } \) 
 + 
 +このように\(x\)を極限まで\(2\)に近づけ「存在しないが確実にある値」を数式を使って表現する事が出来ます 
 +(xは2にはなっていない。あくまで極限まで近づけている) 
 + 
 +＜tips＞ 
 +この様なケースの対処法は、ほぼ決まっています。この現象を「\(\frac { 0 }{ 0 }\)型極限 」と呼び対処法は 
 +①分母を0にする要因を取り除く 
 +②極限で近づく値を代入する 
 +事で計算可能となります 
 + 
 +**メモ [#d2faa5f2]
#jsmath #jsmath
実数 \(0.\overset { \bullet  }{ 9 } 9...\) は \(1\) と等しい事を数列の総和と極限を利用して証明 実数 \(0.\overset { \bullet  }{ 9 } 9...\) は \(1\) と等しい事を数列の総和と極限を利用して証明
\(0.99999999...\quad =\quad 9\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ \quad  }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 4 }+\cdots +{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right\} \quad =\quad 9\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } } \quad \\ \\ { a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\\ \\ \begin{eqnarray} { S }_{ n } & = & { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \\ -{ S }_{ n }r & = & \quad \quad \quad { a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+a{ r }^{ n } \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r & = & { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \end{eqnarray}\quad \quad \\ \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r={ a }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }\quad \rightarrow \quad { S }_{ n }(1-r)={ a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n })\quad \quad \rightarrow \quad { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } \\ \\ { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-{ r } } ,{ a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 10 } ,r=\frac { 1 }{ 10 } \\ 9\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } } \quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 10 }  }  \right\}  } \quad =\quad 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-0 \right)  }{ \frac { 9 }{ 10 }  }  \right\} \quad =\quad \frac { \frac { 9 }{ 10 }  }{ \frac { 9 }{ 10 }  } \quad =\quad \frac { 9 }{ 10 } \div \frac { 9 }{ 10 } \quad =\quad 1\) \(0.99999999...\quad =\quad 9\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ \quad  }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 4 }+\cdots +{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right\} \quad =\quad 9\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } } \quad \\ \\ { a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\\ \\ \begin{eqnarray} { S }_{ n } & = & { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \\ -{ S }_{ n }r & = & \quad \quad \quad { a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+a{ r }^{ n } \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r & = & { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \end{eqnarray}\quad \quad \\ \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r={ a }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }\quad \rightarrow \quad { S }_{ n }(1-r)={ a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n })\quad \quad \rightarrow \quad { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } \\ \\ { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-{ r } } ,{ a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 10 } ,r=\frac { 1 }{ 10 } \\ 9\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } } \quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 10 }  }  \right\}  } \quad =\quad 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-0 \right)  }{ \frac { 9 }{ 10 }  }  \right\} \quad =\quad \frac { \frac { 9 }{ 10 }  }{ \frac { 9 }{ 10 }  } \quad =\quad \frac { 9 }{ 10 } \div \frac { 9 }{ 10 } \quad =\quad 1\)
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