| | \(0.99999999...\quad =\quad 9\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ \quad }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 4 }+\cdots +{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right\} \quad =\quad 9\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad \\ \\ { a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\\ \\ \begin{eqnarray} { S }_{ n } & = & { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \\ -{ S }_{ n }r & = & \quad \quad \quad { a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+a{ r }^{ n } \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r & = & { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \end{eqnarray}\quad \quad \\ \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r={ a }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }\quad \rightarrow \quad { S }_{ n }(1-r)={ a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n })\quad \quad \rightarrow \quad { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } \\ \\ { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-{ r } } ,{ a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 10 } ,r=\frac { 1 }{ 10 } \\ 9\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 10 } } \right\} } \quad =\quad 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-0 \right) }{ \frac { 9 }{ 10 } } \right\} \quad =\quad \frac { \frac { 9 }{ 10 } }{ \frac { 9 }{ 10 } } \quad =\quad \frac { 9 }{ 10 } \div \frac { 9 }{ 10 } \quad =\quad 1\) | | \(0.99999999...\quad =\quad 9\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ \quad }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 4 }+\cdots +{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right\} \quad =\quad 9\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad \\ \\ { a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\\ \\ \begin{eqnarray} { S }_{ n } & = & { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \\ -{ S }_{ n }r & = & \quad \quad \quad { a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+a{ r }^{ n } \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r & = & { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \end{eqnarray}\quad \quad \\ \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r={ a }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }\quad \rightarrow \quad { S }_{ n }(1-r)={ a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n })\quad \quad \rightarrow \quad { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } \\ \\ { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-{ r } } ,{ a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 10 } ,r=\frac { 1 }{ 10 } \\ 9\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 10 } } \right\} } \quad =\quad 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-0 \right) }{ \frac { 9 }{ 10 } } \right\} \quad =\quad \frac { \frac { 9 }{ 10 } }{ \frac { 9 }{ 10 } } \quad =\quad \frac { 9 }{ 10 } \div \frac { 9 }{ 10 } \quad =\quad 1\) |
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