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微積分と物理/極限 のバックアップの現在との差分(No.3)
3: 2015-07-04 (土) 22:14:25 osinko  Deleted an attach file: limit1.png at 2015-07-04 (土) 21:48:44 at 2015-07-04 (土) 21:56:08 |
現: 2015-11-04 (水) 23:06:53 osinko |
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|---|---|---|---|
| Line 2: | Line 2: | ||
| #contents | #contents | ||
| + | #jsmath | ||
| **関数の極限 [#b17997b1] | **関数の極限 [#b17997b1] | ||
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| \(\displaystyle f(2)=\frac { 2^{ 2 }-6\times 2+8 }{ 2-2 } =\frac { 2^{ 2 }-6\times 2+8 }{ 0 } \quad \rightarrow \quad 計算不能 \) | \(\displaystyle f(2)=\frac { 2^{ 2 }-6\times 2+8 }{ 2-2 } =\frac { 2^{ 2 }-6\times 2+8 }{ 0 } \quad \rightarrow \quad 計算不能 \) | ||
| - | この関数を普通に展開して計算すると | + | この関数を因数分解で展開して計算すると |
| \(\displaystyle f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-6x+8 }{ x-2 } \quad \quad \rightarrow \quad \quad f(x)=\frac { \left( x-2 \right) \left( x-4 \right) }{ x-2 } \quad \quad \rightarrow \quad \quad f(x)=x-4\) | \(\displaystyle f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-6x+8 }{ x-2 } \quad \quad \rightarrow \quad \quad f(x)=\frac { \left( x-2 \right) \left( x-4 \right) }{ x-2 } \quad \quad \rightarrow \quad \quad f(x)=x-4\) | ||
| Line 19: | Line 20: | ||
| となります。この展開した関数に対して\(x\)を\(2\)にして計算すると\(-2\)という値を得る事が出来ます。つまり\(x\)が\(2\)の時の値は存在しないが「確実に存在する」のです | となります。この展開した関数に対して\(x\)を\(2\)にして計算すると\(-2\)という値を得る事が出来ます。つまり\(x\)が\(2\)の時の値は存在しないが「確実に存在する」のです | ||
| - | これをプロットすると以下の表に、グラフにすると以下の図の様になります | + | これをプロットすると以下の表に、グラフにすると下図の様になります |
| |\(x\)|0|1|2|3|4|5| | |\(x\)|0|1|2|3|4|5| | ||
| |\(f(x)\)|-4|-3| |-1|0|1| | |\(f(x)\)|-4|-3| |-1|0|1| | ||
| Line 33: | Line 34: | ||
| ＜tips＞ | ＜tips＞ | ||
| - | この様なケースの対処法は、ほぼ決まっています。この現象を「\(\frac { 0 }{ 0 }\)型極限 」と呼び対処法は | + | &font(Red){''変数をある値に限りなく近づけると分子、分母が\(0\)に近づく場合を「\(\frac { 0 }{ 0 }\)型極限 」と呼びます。''};この対処法は |
| ①分母を0にする要因を取り除く | ①分母を0にする要因を取り除く | ||
| ②極限で近づく値を代入する | ②極限で近づく値を代入する | ||
| 事で計算可能となります | 事で計算可能となります | ||
| - | **メモ [#d2faa5f2] | + | #navi |
| - | #jsmath | + | |
| - | 実数 \(0.\overset { \bullet }{ 9 } 9...\) は \(1\) と等しい事を数列の総和と極限を利用して証明 | + | |
| - | + | ||
| - | \(0.99999999...\quad =\quad 9\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ \quad }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 4 }+\cdots +{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right\} \quad =\quad 9\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad \\ \\ { a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\\ \\ \begin{eqnarray} { S }_{ n } & = & { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \\ -{ S }_{ n }r & = & \quad \quad \quad { a }_{ 1 }{ r }^{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 3 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+a{ r }^{ n } \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r & = & { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \end{eqnarray}\quad \quad \\ \\ { S }_{ n }-{ S }_{ n }r={ a }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }\quad \rightarrow \quad { S }_{ n }(1-r)={ a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n })\quad \quad \rightarrow \quad { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } \\ \\ { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }(1-{ r }^{ n }) }{ 1-{ r } } ,{ a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 10 } ,r=\frac { 1 }{ 10 } \\ 9\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } } \quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty }{ 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 10 } } \right\} } \quad =\quad 9\times \left\{ \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-0 \right) }{ \frac { 9 }{ 10 } } \right\} \quad =\quad \frac { \frac { 9 }{ 10 } }{ \frac { 9 }{ 10 } } \quad =\quad \frac { 9 }{ 10 } \div \frac { 9 }{ 10 } \quad =\quad 1\) | + | |
- 微積分と物理/極限 のバックアップ一覧
- 微積分と物理/極限 のバックアップの現在との差分(No. All)
- 1: 2015-05-16 (土) 18:34:58 osinko
- 2: 2015-05-16 (土) 19:01:38 osinko
- 3: 2015-07-04 (土) 22:14:25 osinko
- Deleted an attach file: limit1.png at 2015-07-04 (土) 21:48:44 at 2015-07-04 (土) 21:56:08
- 4: 2015-07-05 (日) 01:35:53 osinko
- 5: 2015-07-05 (日) 23:28:00 osinko
- 6: 2015-07-09 (木) 22:16:12 osinko
