8: 2016-06-09 (木) 21:13:43 osinko  |
現: 2016-06-12 (日) 18:15:24 osinko |
| | 忘備録 | | 忘備録 |
| | | | |
| - | シグマ計算の別項微分、積分 | + | **シグマの微分 [#j833addc] |
| - | シグマの中の式に対して微積分の計算が利用できますよという定理 | + | |
| - | 無限級数の場合は色々条件が必要らしい | + | 以下、何処か間違えている |
| | + | |
| | + | \(a=1\) の場合の式を \(r\) で項別微分する |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \frac { d }{ dr } \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { r }^{ k } } \quad \mapsto \quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } \) |
| | + | |
| | + | この微分したシグマをシンプルな式に変形する。シグマ全体に\(\left( 1-r \right)\)を掛けて数列を整理する |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \begin{eqnarray} \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad 1+2r+3{ r }^{ 2 }+\cdots +n{ r }^{ n-1 } } -\left\{ r+2{ r }^{ 2 }+3{ r }^{ 3 }+\cdots +\left( n-1 \right) { r }^{ n-1 }+n{ r }^{ n } \right\} \\ \quad & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \left( 1+r+{ r }^{ 2 }+\cdots +{ r }^{ n-1 } \right) - } n{ r }^{ n } \\ \quad & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } - } n{ r }^{ n } \end{eqnarray}\) |
| | + | 式は全体がこの状態になっている |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } - } n{ r }^{ n }\) |
| | + | |
| | + | 右辺のシグマの式をシンプルにする |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \frac { \left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } - } n{ r }^{ n }\) |
| | + | |
| | + | |
| | + | 極限を取る。\(0\le r\le 1\)により0になる部分がある |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\frac { \left( 1-0 \right) }{ 1-r } -0\quad =\frac { 1 }{ 1-r } \) |
| | + | |
| | + | 両辺を\(\left( 1-r \right)\)で割る |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\frac { 1 }{ { \left( 1-r \right) }^{ 2 } } \) |
| | + | |
| | + | ***シグマ計算の別項微分、積分 [#u12f7215] |
| | + | 以下に色々と書いてあるが、ぶっちゃけて言うとシグマの中の式に対しても条件を満たせば微積分が使えますよという定理 |
| | + | ？？収束半径というものがどうやら何かの性質を示唆しているらしい？？ |
| | + | \(k\)に対して偏微分の考え方で別項扱い（とりあえず固定値の変数として扱う）にしてシグマの関数全体を\(x\)に対し微積分する |
| | + | //無限級数の場合は色々条件が必要らしい |
| | | | |
| | 条件： | | 条件： |
| | \(\displaystyle \int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right) dt } \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( \frac { { a }_{ k } }{ k+1 } \right) { x }^{ k+1 } } \quad =\quad { a }_{ 0 }x+\frac { { a }_{ 1 } }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { { a }_{ 2 } }{ 3 } { x }^{ 3 }+\cdots +\frac { { a }_{ n } }{ n+1 } { x }^{ n+1 }\) | | \(\displaystyle \int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right) dt } \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( \frac { { a }_{ k } }{ k+1 } \right) { x }^{ k+1 } } \quad =\quad { a }_{ 0 }x+\frac { { a }_{ 1 } }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { { a }_{ 2 } }{ 3 } { x }^{ 3 }+\cdots +\frac { { a }_{ n } }{ n+1 } { x }^{ n+1 }\) |
| | | | |
| - | 微分したもののkの開始位置が1になっている理由？収束半径？ | + | 微分したもののkの開始位置が1になっている理由は実際に計算してみるとわかるが、確かにここは１になる |
| | + | 実際に例題を作り計算してみる |
| | + | |
| | + | 最初に微積分の各関数の変化を確認しておく |
| | + | \(f\left( x \right) =a{ x }^{ n }\quad ,\quad f'\left( x \right) =na{ x }^{ n-1 }\quad ,\quad F\left( x \right) =\frac { 1 }{ n+1 } a{ x }^{ n+1 }\) |
| | + | |
| | + | 次にシグマに対して別項微積分してみる。 \({ a }_{ k }=3k\)として考えた |
| | + | |
| | + | 通常の関数 |
| | + | \(\displaystyle f\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ 3 }{ 3k\cdot { x }^{ k }\quad = } \quad 0+3x+6{ x }^{ 2 }+9{ x }^{ 3 }\) |
| | + | |
| | + | 微分した関数 |
| | + | \(\displaystyle f'\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ 3k\cdot { kx }^{ k-1 }\quad = } \quad 3+12{ x }+27{ x }^{ 2 }\) |
| | + | |
| | + | 積分した関数 |
| | + | \(\displaystyle F\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ 3 }{ 3k\cdot { \frac { 1 }{ k+1 } { x }^{ k+1 } }\quad = } \quad 0+\frac { 3 }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { 6 }{ 3 } { x }^{ 3 }+\frac { 9 }{ 4 } { x }^{ 4 }\) |
| | + | |
| | + | ここから複素数をシグマの式内でうまく利用すると何らかの性質を見いだせるらしい |
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