プログレス2

シグマの微分

以下、何処か間違えている

\(a=1\) の場合の式を \(r\) で項別微分する

\(\displaystyle \frac { d }{ dr } \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { r }^{ k } } \quad \mapsto \quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } \)

この微分したシグマをシンプルな式に変形する。シグマ全体に\(\left( 1-r \right)\)を掛けて数列を整理する

\(\displaystyle \begin{eqnarray} \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad 1+2r+3{ r }^{ 2 }+\cdots +n{ r }^{ n-1 } } -\left\{ r+2{ r }^{ 2 }+3{ r }^{ 3 }+\cdots +\left( n-1 \right) { r }^{ n-1 }+n{ r }^{ n } \right\} \\ \quad & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \left( 1+r+{ r }^{ 2 }+\cdots +{ r }^{ n-1 } \right) - } n{ r }^{ n } \\ \quad & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } - } n{ r }^{ n } \end{eqnarray}\)
式は全体がこの状態になっている

\(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } - } n{ r }^{ n }\)

右辺のシグマの式をシンプルにする

\(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \frac { \left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } - } n{ r }^{ n }\)

極限を取る。\(0\le r\le 1\)により0になる部分がある

\(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\frac { \left( 1-0 \right) }{ 1-r } -0\quad =\frac { 1 }{ 1-r } \)

両辺を\(\left( 1-r \right)\)で割る

\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\frac { 1 }{ { \left( 1-r \right) }^{ 2 } } \)

シグマ計算の別項微分、積分

以下に色々と書いてあるが、ぶっちゃけて言うとシグマの中の式に対しても条件を満たせば微積分が使えますよという定理
？？収束半径というものがどうやら何かの性質を示唆しているらしい？？
\(k\)に対して偏微分の考え方で別項扱い（とりあえず固定値の変数として扱う）にしてシグマの関数全体を\(x\)に対し微積分する

条件：
\(\left| x \right| <R\)
この定理は\(x\in \mathbb{C}\) （複素数）のときも成り立つ。このとき\(\left| x \right| <R\)は複素数平面上で\(0\)を中心とする半径\(R\)の円の内部を表す

\(\displaystyle f\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ { a }_{ k }{ x }^{ k } } \quad =\quad { a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }{ x }^{ 1 }+{ a }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ n }{ x }^{ n }\)
\(\displaystyle f'\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }k{ x }^{ k-1 } } \quad =\quad { a }_{ 1 }+2{ a }_{ 2 }{ x }+3{ a }_{ 3 }{ x }^{ 2 }+\cdots +n{ a }_{ n }{ x }^{ n-1 }\)
\(\displaystyle \int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right) dt } \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( \frac { { a }_{ k } }{ k+1 } \right) { x }^{ k+1 } } \quad =\quad { a }_{ 0 }x+\frac { { a }_{ 1 } }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { { a }_{ 2 } }{ 3 } { x }^{ 3 }+\cdots +\frac { { a }_{ n } }{ n+1 } { x }^{ n+1 }\)

微分したもののkの開始位置が1になっている理由は実際に計算してみるとわかるが、確かにここは１になる
実際に例題を作り計算してみる

最初に微積分の各関数の変化を確認しておく
\(f\left( x \right) =a{ x }^{ n }\quad ,\quad f'\left( x \right) =na{ x }^{ n-1 }\quad ,\quad F\left( x \right) =\frac { 1 }{ n+1 } a{ x }^{ n+1 }\)

次にシグマに対して別項微積分してみる。 \({ a }_{ k }=3k\)として考えた

通常の関数
\(\displaystyle f\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ 3 }{ 3k\cdot { x }^{ k }\quad = } \quad 0+3x+6{ x }^{ 2 }+9{ x }^{ 3 }\)

微分した関数
\(\displaystyle f'\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ 3k\cdot { kx }^{ k-1 }\quad = } \quad 3+12{ x }+27{ x }^{ 2 }\)

積分した関数
\(\displaystyle F\left( x \right) \quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ 3 }{ 3k\cdot { \frac { 1 }{ k+1 } { x }^{ k+1 } }\quad = } \quad 0+\frac { 3 }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { 6 }{ 3 } { x }^{ 3 }+\frac { 9 }{ 4 } { x }^{ 4 }\)

ここから複素数をシグマの式内でうまく利用すると何らかの性質を見いだせるらしい

キュムラント（累積率　cumulant)

累積比の考え方

モーメント（積率）

モーメント：積率　定数倍部分のn次を指しているらしい？
確率で使うモーメントという言葉と物理で使うモーメントはちょっと違う
等比をひとつずらして引き算はモーメントに対する操作？

a

QC 品質管理：クオリティコントロール
幾何分布(Geometric distribution)

シグマと期待値

インクリメントされる確率変数を持ったシグマ計算を一般式に誘導する際に便利な考え方
（係数の中にある\(k\)を消す）
次のような総和、シグマの式\(Sn\)があるとする

\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ ka{ r }^{ k } }\quad =\quad ar+2a{ r }^{ 2 }+3a{ r }^{ 3 }+\cdots +(n-1)a{ r }^{ n-1 }+na{ r }^{ n } \)

この\(Sn\)を等比だけズラしたものを考える

\( rSn = a{ r }^{ 2 }+2a{ r }^{ 3 }+\cdots +(n-2)a{ r }^{ n-1 }+(n-1)a{ r }^{ n }+na{ r }^{ n+1 } \)

このズラしたものと通常の\(Sn\)を引き算する

\(Sn-rSn\quad =\quad \left( ar+a{ r }^{ 2 }+a{ r }^{ 3 }+\cdots +a{ r }^{ n-1 }+a{ r }^{ n } \right) -na{ r }^{ n+1 }\)

総和を再びシグマにまとめる。これで係数の中から\(k\)を消せた

\(\displaystyle Sn(1-r)\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ a{ r }^{ k } } -na{ r }^{ n+1 }\)

ここからシグマの等比をひとつ外に出してズラし、一般式を適用する

\(\displaystyle Sn(1-r)\quad =\quad ar\sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } -na{ r }^{ n+1 }\quad \Leftrightarrow \quad Sn(1-r)\quad =\quad \frac { ar(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } -na{ r }^{ n+1 }\quad \Leftrightarrow \quad Sn\quad =\quad \frac { \frac { ar(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } -na{ r }^{ n+1 } }{ (1-r) } \)

これに対して\(n\)に\(\infty \)をとって確率の期待値などで利用すると式をシンプルにしやすい

これは何の役に立つの？

確率の期待値の計算等に威力を発揮する
シグマの係数内にインディケーター変数があっても、これを無くして式を一般化できる

一般化後、確率計算だと大抵、等比\(r\)が0以上1以下になっている
そこで項数\(n\)を無限\(\infty\)にすると極限により収束が発生し式がシンプルになる

以下に例を挙げていく