1: 2016-03-24 (木) 00:04:07 osinko  |
2: 2016-03-24 (木) 01:28:55 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
| - | ***二項分布の検証 [#e9de07bf] | + | **二項分布の追加検証 [#e9de07bf] |
| | + | 資料：数学ガール 乱択アルゴリズムP162 |
| | + | |
| | + | 二項分布の動きを細かく見てみる。二項分布の定義は以下になる |
| | + | |
| | + | \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) |
| | + | |
| | + | ***caseA [#dca051ad] |
| | + | 表が出る確率50% (0.5)で裏が出る確率50% (0.5)のコインを\(n=3\)回投げる |
| | + | 表が\(k=2\)回出る確率\({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) \)を求めよ |
| | + | |
| | + | \({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \cdot (0.5) }^{ 2 }\cdot (0.5)^{ 3-2 }\\ =3{ \quad \cdot \quad 0.5 }^{ 2 }\quad \cdot \quad 0.5\\ =0.375\quad \Rightarrow \quad 37.5\% \) |
| | + | &ref(prob4.png); |
| | + | この図はコインの出る可能性を樹形図として表したもので、表が２回、裏が１回出るときの経路が３本ある事が分かる図となっている |
| | + | 二項分布の定義内にあるコンビネーションの計算式はこの３本の経路であることが分かる |
| | + | |
| | + | 各経路の確率は0.5の3乗であり、&font(Red){これら３本が足し算されている（確率の和）}; |
| | + | //インディケータ確率変数が１になる確率が３回足し算されている（資料：数学ガール 乱択アルゴリズムP168） |
| | + | 次に式を少しだけ難しくしてみる |
| | + | |
| | + | ***caseB [#ka6522bc] |
| | + | 表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる |
| | + | 表が\(k=2\)回出る確率\({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) \)を求めよ |
| | + | \({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \cdot (0.6) }^{ 2 }\cdot (0.4)^{ 3-2 }\\ =3{ \quad \cdot \quad 0.6 }^{ 2 }\quad \cdot \quad 0.4\\ =0.432\quad \Rightarrow \quad 43.2\%\) |
| | + | &ref(prob5.png); |
| | + | 図を見ればわかるが、３本の経路それぞれが順番は変わるが「表２回裏１回の確率の掛け算」になっている。経路数はコンビネーションの３本 |
| | + | |
| | + | 上の経路から |
| | + | \(表0.6\times 表0.6\times 裏0.4\\ 表0.6\times 裏0.4\times 表0.6\\ 裏0.4\times 表0.6\times 表0.6\) |
| | + | 各経路の確率は0.6の2乗×0.4の１乗であり、&font(Red){これら３本が足し算されている（確率の和）}; 美しい・・・ |
| | + | |
| | + | 次に確率変数の期待値を見てみる |
| | + | |
| | + | ***caseC [#i6d59e44] |
| | + | 表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる |
| | + | このとき、表が出る回数の期待値を求めよ |
| | + | |
| | + | 表が出る回数を確率変数\(X\)として\(n=3\)の場合について\(X\)の期待値を求める |
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