2: 2016-03-24 (木) 01:28:55 osinko  |
3: 2016-03-26 (土) 00:19:47 osinko |
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| | ***caseA [#dca051ad] | | ***caseA [#dca051ad] |
| - | 表が出る確率50% (0.5)で裏が出る確率50% (0.5)のコインを\(n=3\)回投げる | + | &font(Blue){表が出る確率50% (0.5)で裏が出る確率50% (0.5)のコインを\(n=3\)回投げる}; |
| - | 表が\(k=2\)回出る確率\({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) \)を求めよ | + | &font(Blue){表が\(k=2\)回出る確率\({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) \)を求めよ}; |
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| | \({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \cdot (0.5) }^{ 2 }\cdot (0.5)^{ 3-2 }\\ =3{ \quad \cdot \quad 0.5 }^{ 2 }\quad \cdot \quad 0.5\\ =0.375\quad \Rightarrow \quad 37.5\% \) | | \({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \cdot (0.5) }^{ 2 }\cdot (0.5)^{ 3-2 }\\ =3{ \quad \cdot \quad 0.5 }^{ 2 }\quad \cdot \quad 0.5\\ =0.375\quad \Rightarrow \quad 37.5\% \) |
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| | ***caseB [#ka6522bc] | | ***caseB [#ka6522bc] |
| - | 表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる | + | &font(Blue){表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる}; |
| - | 表が\(k=2\)回出る確率\({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) \)を求めよ | + | &font(Blue){表が\(k=2\)回出る確率\({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) \)を求めよ}; |
| | \({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \cdot (0.6) }^{ 2 }\cdot (0.4)^{ 3-2 }\\ =3{ \quad \cdot \quad 0.6 }^{ 2 }\quad \cdot \quad 0.4\\ =0.432\quad \Rightarrow \quad 43.2\%\) | | \({ P }_{ 3 }\left( 2 \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \cdot (0.6) }^{ 2 }\cdot (0.4)^{ 3-2 }\\ =3{ \quad \cdot \quad 0.6 }^{ 2 }\quad \cdot \quad 0.4\\ =0.432\quad \Rightarrow \quad 43.2\%\) |
| | &ref(prob5.png); | | &ref(prob5.png); |
| | | | |
| | ***caseC [#i6d59e44] | | ***caseC [#i6d59e44] |
| - | 表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる | |
| - | このとき、表が出る回数の期待値を求めよ | |
| | | | |
| - | 表が出る回数を確率変数\(X\)として\(n=3\)の場合について\(X\)の期待値を求める | + | 参考資料：資料：数学ガール 乱択アルゴリズムP155～182 |
| | + | |
| | + | &font(Blue){表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる}; |
| | + | &font(Blue){このとき、表が出る回数の期待値を求めよ}; |
| | + | |
| | + | 表が出る回数を確率変数\(X\)として\(n=3\)の場合について\(X\)の期待値を求める。順番に解決していく。まず標本空間から考える |
| | + | コインを３回投げた時の「表が出る現象」に注目し起こりうる全事象を網羅した標本空間\(\ \Omega \)は以下になる |
| | + | |
| | + | \(\Omega =\left\{ \quad { \omega }_{ 0 }=三回投げて表が0回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 1 }=三回投げて表が1回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 2 }=三回投げて表が2回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 3 }=三回投げて表が3回出る\quad \right\} \) |
| | + | |
| | + | この標本空間を「表が出る回数」とした確率変数\(X\left( \omega \right) \)の関数に対応させて考えると、その実数の数列は |
| | + | |
| | + | \(X=\left\{ \quad { c }_{ 0 }=0\quad , \quad { c }_{ 1 }=1\quad ,\quad { c }_{ 2 }=2\quad ,\quad { c }_{ 3 }=3\quad \right\} \) となる。これは標本空間\(\ \Omega \)を対応させたものであるので全事象を網羅している |
| | + | |
| | + | ここで期待値とは何者か？という事について考えてみる |
| | + | &font(Red,140%){例えばコインを3回投げるとき、表が3回出たら3で、表が3回出なかったら0となるインディケータ確率変数\({c}_{3}\)があると考える}; |
| | + | （これは表が「３回出る」という事象（部分集合）のみに注目している。他の事象は\({c}_{0}\)や\({c}_{1}\)、\({c}_{2}\)が担当している） |
| | + | &font(Red,140%){命題に対する真偽を真（3）と偽（0）で表すのが「インディケータ」とするとその真偽の確率を反映した値は期待値とよばれるものになる}; |
| | + | 例えば、この真偽の確率が50％であるならば3×0.5=1.5。期待値1.5となる |
| | + | |
| | + | これを踏まえインディケータ確率変数\({c}_{3}\)の期待値\(E\left[ { c }_{ 3 } \right] \)を求める式を考えると以下のようになる |
| | + | |
| | + | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( X={ c }_{ k } \right) }+0\cdot { Pr\left( X=0 \right) }\\ \quad \quad \quad \quad ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( { c }_{ k } \right) }\) |
| | + | |
| | + | 確率分布\(Pr\)関数は入力にインディケータ確率変数を向かい入れているので二項分布の関数にする必要がある。よって式は |
| | + | |
| | + | \({ c }_{ k }\cdot { {P}_{n}\left( k \right) }\) となる。二項分布\({P}_{n}\)の定義は \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) であるから、これを代入すると |
| | + | |
| | + | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) となる |
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