4: 2016-03-26 (土) 01:14:37 osinko  |
5: 2016-03-26 (土) 14:56:13 osinko |
| | &font(Red,140%){例えばコインを3回投げるとき、表が3回出たら3で、表が3回出なかったら0となるインディケータ確率変数\({c}_{3}\)があると考える}; | | &font(Red,140%){例えばコインを3回投げるとき、表が3回出たら3で、表が3回出なかったら0となるインディケータ確率変数\({c}_{3}\)があると考える}; |
| | （これは表が「３回出る」という事象（部分集合）のみに注目している。他の事象は\({c}_{0}\)や\({c}_{1}\)、\({c}_{2}\)が担当している） | | （これは表が「３回出る」という事象（部分集合）のみに注目している。他の事象は\({c}_{0}\)や\({c}_{1}\)、\({c}_{2}\)が担当している） |
| - | &font(Red,140%){命題に対する真偽を真（3）と偽（0）で表すのが「インディケータ」とするとその真偽の確率を反映した値は期待値とよばれるものになる}; | + | |
| - | 例えば、この真の確率が50％であるならば3×0.5=1.5。期待値1.5となる | + | ＜STOP：ベルヌーイ試行で考え直して書き直す＞ |
| | + | |
| | + | 命題に対する真偽を真（3）と偽（0）で表すのが「インディケータ」とするとその真偽の確率を反映した値は期待値とよばれるものになる |
| | + | 例えば、この真の確率が50％であるならば3×0.5=1.5。期待値1.5となる。期待値とはその試行を何十回何百回と繰り返し行いその平均を取ると近似する値と言える |
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| | これを踏まえインディケータ確率変数\({c}_{3}\)の期待値\(E\left[ { c }_{ 3 } \right] \)を求める式を考えると以下のようになる | | これを踏まえインディケータ確率変数\({c}_{3}\)の期待値\(E\left[ { c }_{ 3 } \right] \)を求める式を考えると以下のようになる |
| | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( X={ c }_{ k } \right) }+0\cdot { Pr\left( X=0 \right) }\\ \quad \quad \quad \quad ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( { c }_{ k } \right) }\) | | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( X={ c }_{ k } \right) }+0\cdot { Pr\left( X=0 \right) }\\ \quad \quad \quad \quad ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( { c }_{ k } \right) }\) |
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| - | &font(Red){確率分布\(Pr\)関数は入力にインディケータ確率変数を向かい入れているので二項分布の関数にする必要がある}; | + | &font(Red){\(Pr\)確率分布関数はインディケータ確率変数を入力としているので二項分布の関数にする必要がある}; |
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| | よって式は \({ c }_{ k }\cdot { {P}_{n}\left( k \right) }\) となる。二項分布\({P}_{n}\)の定義は \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) であるから、これを代入すると | | よって式は \({ c }_{ k }\cdot { {P}_{n}\left( k \right) }\) となる。二項分布\({P}_{n}\)の定義は \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) であるから、これを代入すると |
| | &font(140%){\(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) }; | | &font(140%){\(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) }; |
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| - | この式に実際の値を代入していく。\(n=3\quad ,\quad { c }_{ k }=3\quad ,\quad k=3\quad ,\quad p=\frac { 3 }{ 5 } \quad ,\quad q=\frac { 2 }{ 5 } \) | + | この式に実際の値を代入していく |
| | + | |
| | + | -コインを投げる回数 \(n=3\) |
| | + | -表が出た回数 \(k=3\) |
| | + | -表が3回出たら3で、表が3回出なかったら0となるインディケータ確率変数 \({ c }_{ k }={c}_{3}=3\) |
| | + | -表が出る確率 \(p=\frac { 3 }{ 5 } \) |
| | + | -裏が出る確率 \(q=\frac { 2 }{ 5 } \) |
| | | | |
| | \(E\left[ { c }_{ 3 } \right] =3\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-3 }\\ =3\times 1\times \frac { 27 }{ 125 } \times 1\\ =\frac { 81 }{ 125 } \) | | \(E\left[ { c }_{ 3 } \right] =3\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-3 }\\ =3\times 1\times \frac { 27 }{ 125 } \times 1\\ =\frac { 81 }{ 125 } \) |
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| | これが確率変数\(X\)の事象（部分集合）\({c}_{3}\)の期待値である。これはあくまで全事象の中の一部分なので全ての起こる事象を足し合わせると「期待値の和」により「表が出る回数の期待値」を漏れなく求める事が出来る | | これが確率変数\(X\)の事象（部分集合）\({c}_{3}\)の期待値である。これはあくまで全事象の中の一部分なので全ての起こる事象を足し合わせると「期待値の和」により「表が出る回数の期待値」を漏れなく求める事が出来る |
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