5: 2016-03-26 (土) 14:56:13 osinko  |
6: 2016-03-27 (日) 07:06:49 osinko |
| | ***caseC [#i6d59e44] | | ***caseC [#i6d59e44] |
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| - | 参考資料：資料：数学ガール 乱択アルゴリズムP155～182 | + | 参考資料1：資料：数学ガール 乱択アルゴリズムP155～182 |
| | + | 参考資料2：[[ベルヌーイ過程:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E9%81%8E%E7%A8%8B]] |
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| | &font(Blue){表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる}; | | &font(Blue){表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる}; |
| | \(\Omega =\left\{ \quad { \omega }_{ 0 }=三回投げて表が0回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 1 }=三回投げて表が1回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 2 }=三回投げて表が2回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 3 }=三回投げて表が3回出る\quad \right\} \) | | \(\Omega =\left\{ \quad { \omega }_{ 0 }=三回投げて表が0回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 1 }=三回投げて表が1回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 2 }=三回投げて表が2回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 3 }=三回投げて表が3回出る\quad \right\} \) |
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| - | この標本空間を「表が出る回数」とした確率変数\(X\left( \omega \right) \)の関数に対応させて考えると、その実数の数列は | + | この標本空間を定量的に考え解析しやすい形にする。「三回投げた時の表が出る回数」を量と考え、確率変数\(X\left( \omega \right) \)の関数に対応させる。その実数の数列は |
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| | \(X=\left\{ \quad { c }_{ 0 }=0\quad , \quad { c }_{ 1 }=1\quad ,\quad { c }_{ 2 }=2\quad ,\quad { c }_{ 3 }=3\quad \right\} \) となる。これは標本空間\(\ \Omega \)を対応させたものであるので全事象を網羅している | | \(X=\left\{ \quad { c }_{ 0 }=0\quad , \quad { c }_{ 1 }=1\quad ,\quad { c }_{ 2 }=2\quad ,\quad { c }_{ 3 }=3\quad \right\} \) となる。これは標本空間\(\ \Omega \)を対応させたものであるので全事象を網羅している |
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| - | ここで期待値とは何者か？という事について考えてみる | + | メモP166が重要 |
| - | &font(Red,140%){例えばコインを3回投げるとき、表が3回出たら3で、表が3回出なかったら0となるインディケータ確率変数\({c}_{3}\)があると考える}; | + | |
| - | （これは表が「３回出る」という事象（部分集合）のみに注目している。他の事象は\({c}_{0}\)や\({c}_{1}\)、\({c}_{2}\)が担当している） | + | |
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| - | ＜STOP：ベルヌーイ試行で考え直して書き直す＞ | + | |
| - | | + | |
| - | 命題に対する真偽を真（3）と偽（0）で表すのが「インディケータ」とするとその真偽の確率を反映した値は期待値とよばれるものになる | + | |
| - | 例えば、この真の確率が50％であるならば3×0.5=1.5。期待値1.5となる。期待値とはその試行を何十回何百回と繰り返し行いその平均を取ると近似する値と言える | + | |
| - | | + | |
| - | これを踏まえインディケータ確率変数\({c}_{3}\)の期待値\(E\left[ { c }_{ 3 } \right] \)を求める式を考えると以下のようになる | + | |
| - | | + | |
| - | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( X={ c }_{ k } \right) }+0\cdot { Pr\left( X=0 \right) }\\ \quad \quad \quad \quad ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( { c }_{ k } \right) }\) | + | |
| - | | + | |
| - | &font(Red){\(Pr\)確率分布関数はインディケータ確率変数を入力としているので二項分布の関数にする必要がある}; | + | |
| - | | + | |
| - | よって式は \({ c }_{ k }\cdot { {P}_{n}\left( k \right) }\) となる。二項分布\({P}_{n}\)の定義は \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) であるから、これを代入すると | + | |
| - | | + | |
| - | &font(140%){\(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) }; | + | |
| - | | + | |
| - | この式に実際の値を代入していく | + | |
| - | | + | |
| - | -コインを投げる回数 \(n=3\) | + | |
| - | -表が出た回数 \(k=3\) | + | |
| - | -表が3回出たら3で、表が3回出なかったら0となるインディケータ確率変数 \({ c }_{ k }={c}_{3}=3\) | + | |
| - | -表が出る確率 \(p=\frac { 3 }{ 5 } \) | + | |
| - | -裏が出る確率 \(q=\frac { 2 }{ 5 } \) | + | |
| - | | + | |
| - | \(E\left[ { c }_{ 3 } \right] =3\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-3 }\\ =3\times 1\times \frac { 27 }{ 125 } \times 1\\ =\frac { 81 }{ 125 } \) | + | |
| - | | + | |
| - | これが確率変数\(X\)の事象（部分集合）\({c}_{3}\)の期待値である。これはあくまで全事象の中の一部分なので全ての起こる事象を足し合わせると「期待値の和」により「表が出る回数の期待値」を漏れなく求める事が出来る | + | |
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