6: 2016-03-27 (日) 07:06:49 osinko  |
7: 2016-03-29 (火) 23:20:05 osinko |
| | \(X=\left\{ \quad { c }_{ 0 }=0\quad , \quad { c }_{ 1 }=1\quad ,\quad { c }_{ 2 }=2\quad ,\quad { c }_{ 3 }=3\quad \right\} \) となる。これは標本空間\(\ \Omega \)を対応させたものであるので全事象を網羅している | | \(X=\left\{ \quad { c }_{ 0 }=0\quad , \quad { c }_{ 1 }=1\quad ,\quad { c }_{ 2 }=2\quad ,\quad { c }_{ 3 }=3\quad \right\} \) となる。これは標本空間\(\ \Omega \)を対応させたものであるので全事象を網羅している |
| | | | |
| - | メモP166が重要 | + | ここで例として\({c}_{2}\)が、どのような考えで\(2\)となったかを確認してみる |
| | + | これは独立試行のコインを３回投げて表が出れば真_成功（１）、裏が出れば偽_失敗（０）として |
| | + | その回数を数え上げ足し合わせた数と言える。つまり |
| | + | |
| | + | |１回目|２回目|３回目|１回目＋２回目＋３回目| |
| | + | |1|0|1|1+0+1=2| |
| | + | |1|1|0|1+1+0=2| |
| | + | |0|1|1|0+1+1=2| |
| | + | |
| | + | 上記のように計算され\(2\)という数字が算出されている。このような命題に対する真偽を\(1\)と\(0\)で、あらわし数え上げる変数を「インディケータ変数」と呼び、 |
| | + | ある事象が起きるかどうか\(1\)か\(0\)かで定まる確率計算と共に合わせ数え上げたものを「ベルヌーイ確率変数」と呼ぶ |
| | + | |
| | + | &font(120%){&font(Red){ベルヌーイ確率変数に対応する確率分布関数は、樹形図における該当する事象の樹の本数と各経路の確率が掛け合わされて、その事象の確率が算出される必要がある};}; |
| | + | &font(120%){&font(Red){よってベルヌーイ確率変数に対応する確率分布は二項分布となる};}; |
| | + | |
| | + | 二項分布の定義は \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) である。右辺のコンビネーション計算が樹形図の樹の数を数え上げている。それにつづく右側が確率となっている |
| | + | これはcaseAやcaseBを見てもらえば何が起こっているかわかるだろう |
| | + | |
| | + | ここで一例として\({c}_{2}\)の確率を求める計算をこれに当てはめてみると・・・ |
| | + | |
| | + | -二項分布関数 \(P\) |
| | + | -試行回数 \(n=3\) |
| | + | -表が出る回数 \(k=2\) |
| | + | -表が出る確率 \(p=\frac { 3 }{ 5 } \) |
| | + | -裏が出る確率 \(q=\frac { 2 }{ 5 } \) |
| | + | |
| | + | となる。そして、この確率に対し、ベルヌーイ確率変数を掛け合わせると、その事象の期待値\(E\left[ { c }_{ k } \right] \)が算出できる |
| | + | |
| | + | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\\ \\ E\left[ { c }_{ 2 } \right] \quad =\quad 2\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-2 }\quad =\quad 2\cdot 3\cdot \left( \frac { 18 }{ 125 } \right) \quad =\frac { 108 }{ 125 } \) |
| | + | |
| | + | これで確率変数\(X\)の\({c}_{2}\)の期待値が求められたことが判る。他の事象\({c}_{0}\)や\({c}_{1}\)、\({c}_{3}\)も同様の仕組みで求めることができる |
| | + | これを&font(Red){「期待値の和」};の性質を利用してシグマの式でまとめ上げたものが |
| | + | |
| | + | &font(150%){\(\displaystyle E\left[ X \right] =\sum _{ k=0 }^{ n }{ { c }_{ k } } \cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\)}; となっている |
| | + | |
| | + | この式を利用して問題を解いてみる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle E\left[ X \right] \quad =\quad 0\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 0 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-0 }\quad +\quad 1\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 1 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-1 }\quad +\quad 2\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-2 }\quad +\quad 3\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-3 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\cdot 1\cdot 1\cdot { \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3 }\quad +\quad 1\cdot 3\cdot { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 2 }\quad +\quad 2\cdot 3\cdot { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }\quad +\quad 3\cdot 1\cdot { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }\cdot 1\\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\quad +\quad 3\cdot \frac { 12 }{ 125 } \quad +\quad 6\cdot \frac { 18 }{ 125 } \quad +\quad 3\cdot \frac { 27 }{ 125 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\quad +\quad \frac { 36 }{ 125 } \quad +\quad \frac { 108 }{ 125 } \quad +\quad \frac { 81 }{ 125 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad \frac { 225 }{ 125 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 1.8\) |
| | + | |
| | + | これは\(P=0.6\)で\(3p\)と同じ答えと言える。資料：数学ガール_乱択アルゴリズムP169の答えと同一であり\(E\left[ X \right] =np\)でこの問いには答えられることを意味している |
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