9: 2016-05-29 (日) 20:59:09 osinko  |
10: 2016-05-30 (月) 00:09:06 osinko |
| | この問題のディテールを自分なりに確認してみる | | この問題のディテールを自分なりに確認してみる |
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| | + | ***準備段階 [#ne90df4b] |
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| | 順番に考えていく。確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割合である」。従って | | 順番に考えていく。確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割合である」。従って |
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| - | この樹形図で「３人で縄跳びを一回跳ぶ」事に成功する事象を探す。これは一番上のルートであることが分かる | + | この樹形図で「３人で縄跳びを一回跳ぶ事に成功する事象」を探す。これは一番上のルートであることが分かる |
| | 従ってその確率は\(\\ { 0.999 }^{ 3 }=0.997002999...\)となる。これが30人いる場合は\({ 0.999 }^{ 30 }=0.970430967...\)となる事が分かる | | 従ってその確率は\(\\ { 0.999 }^{ 3 }=0.997002999...\)となる。これが30人いる場合は\({ 0.999 }^{ 30 }=0.970430967...\)となる事が分かる |
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| - | では、「３人で縄跳びを一回跳ぶ」事に失敗する確率はどうなるだろうか。&font(Fuchsia){ここでやりがちな間違いとは\({ 0.001 }^{ 30 }\)を失敗の確率と考えてしまう事である};。この場合を樹形図で確認すると、一番下のルートのみを計算したことになり\({ 0.001 }^{ 30 }\)の計算では「ひとりでも縄に引っかかれば失敗」という事象を満たさなくなる。では下図の青ルートを計算するとして30人になった場合の事を考えると、それぞれ計算し各ルートを足し合わせる事になるので、この計算はとても大変な事だと解ってくる（この樹形図は右に伸びていくほど分岐が増えていく） | + | では、「３人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗する事象」の確率はどうなるだろうか。この事象を論理で考えると |
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| | + | &font(Blue){３人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗した ⇒(ならば) ひとりでも縄に引っかかっている}; となる |
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| | + | &font(Fuchsia){ここでやりがちな間違いとは\({ 0.001 }^{ 30 }\)を失敗の確率と考えてしまう事である};。この場合を樹形図で確認すると、一番下のルートのみを計算したことになり「ひとりでも縄に引っかかっている」という必要条件を満たさなくなる。では下図の青ルートを計算するとして30人になった場合の事を考えると、それぞれ計算し各ルートを足し合わせる事になるので、この計算はとても大変な事だと解ってくる（この樹形図は右に伸びていくほど分岐が増えていく） |
| | + | &ref(prob8.png,100%); |
| | + | |
| | + | pocketCasで計算すると下記のように計算結果を出せるがこれを手作業で計算は大変すぎる |
| | + | &ref(Formula1.png); |
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| | この失敗を計算する方法は実は確率の性質を利用する事で簡単に計算できる | | この失敗を計算する方法は実は確率の性質を利用する事で簡単に計算できる |
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| | ここで\(p\)を成功事象。\(q\)を失敗事象として考えると樹形図の成功以外の複数のルートをいちいち計算しなくても「\(q=(1-p)\)」である事がわかる | | ここで\(p\)を成功事象。\(q\)を失敗事象として考えると樹形図の成功以外の複数のルートをいちいち計算しなくても「\(q=(1-p)\)」である事がわかる |
| - | つまり、\(1-0.999^{ 30 }\)で「30人で縄跳びを一回跳ぶ」事に失敗する確率は求められる。このような考え方を資料：虚数の情緒ではP491～P492の鳩の巣論法で説明している | + | つまり、\(1-0.999^{ 30 }\)で「30人で縄跳びを一回跳ぶ」事に失敗する確率は求められる。このような考え方を資料：虚数の情緒ではP491～P492の&font(Red){''鳩の巣論法''};で説明している |
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| | + | ここまでをまとめると... |
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| | + | -30人で縄跳びを一回跳ぶ事に成功する確率は \(p={0.999}^{30}\) |
| | + | -30人で縄跳びを一回跳ぶ事に失敗する確率は \(q=1-{0.999}^{30}\) |
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| - | ＜ＴＯＤＯ＞ | + | ちなみに\(\{ { 0.999 }^{ 1 },{ 0.999 }^{ 2 },{ 0.999 }^{ 3 }\cdots { 0.999 }^{ 30 }\} \)と値が遷移していく様子をグラフで観察すると下図になる |
| | + | &ref(grp1.png,100%); |
| | + | まるで一次関数グラフのように直線に見えるが0.999の部分の値を変えて観察すると下図になっている |
| | + | &ref(grp2.png,100%); |
| | + | \({0.95}^{k}\)辺り（緑色の線グラフ）まで直線に近似しているがそれ以降に値が小さくなると曲線がより強くなっていく。一応知識として知っておくと後々何かに使えるかもしれないので併記しておく |
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| | + | ***期待値を求める [#m9f85e31] |
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| | + | ＜TODO:以下工事中＞ |
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| | 確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割合である」。この事を利用して希望するものの逆に該当する事象の確率を計算し全体である１から引き算することで答えを得る | | 確率は「起こり得る全体の中で希望するものの割合である」。この事を利用して希望するものの逆に該当する事象の確率を計算し全体である１から引き算することで答えを得る |
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