[プログレス2 のバックアップ差分(No.2)]

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--- 1: 2016-06-03 (金) 23:28:10 osinko
+++ 2: 2016-06-03 (金) 23:53:30 osinko
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 忘備録
+インクリメントされる確率変数を持ったシグマ計算を一般式に誘導する際に便利な考え方
+（係数の中にある\(k\)を消す）
+\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ ka{ r }^{ k } } \)
+片方を等比ぶんズラす
+\(\begin{eqnarray} Sn & = & ar+2a{ r }^{ 2 }+3a{ r }^{ 2 }+\cdots +(n-1)a{ r }^{ n-1 }+na{ r }^{ n } \\ rSn & = &  a{ r }^{ 2 }+2a{ r }^{ 2 }+\cdots +(n-2)a{ r }^{ n-1 }+(n-1)a{ r }^{ n }+na{ r }^{ n+1 } \end{eqnarray}\)
+引き算する
+\(Sn-rSn\quad =\quad \left( ar+a{ r }^{ 2 }+a{ r }^{ 3 }+\cdots +a{ r }^{ n-1 }+a{ r }^{ n } \right) -na{ r }^{ n+1 }\)
+総和を再びシグマにまとめる。これで係数の中から\(k\)を消せた
+\(\displaystyle Sn(1-r)\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ a{ r }^{ k } } -na{ r }^{ n+1 }\)
+ここからシグマの等比をひとつ外に出してズラし、一般式を適用する
+\(\displaystyle Sn(1-r)\quad =\quad ar\sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } -na{ r }^{ n+1 }\quad \Leftrightarrow \quad Sn(1-r)\quad =\quad \frac { ar(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } -na{ r }^{ n+1 }\quad \Leftrightarrow \quad Sn\quad =\quad \frac { \frac { ar(1-{ r }^{ n }) }{ 1-r } -na{ r }^{ n+1 } }{ (1-r) } \)
+これに対して\(n\)に\(\infty \)をとって確率の期待値などで利用すると式をシンプルにしやすい