[イプシロンデルタ_メモ2 のバックアップ差分(No.11)]

Unity学習帳2冊目イプシロンデルタ_メモ2 のバックアップ差分(No.11)

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--- 10: 2016-11-11 (金) 01:58:04 osinko
+++ 11: 2016-11-11 (金) 23:37:14 osinko
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 #jsmath
-プログレス
+**簡単な実験 [#x9b5346e]
-***微分の極限の定義 [#u792a56d]
-\(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right)  }{ b-a }  } =f'\left( a \right) \)
-\( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right)  }{ b-a } -f'\left( a \right)  \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) -\varepsilon <\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right)  }{ b-a } <f'\left( a \right) +\varepsilon \quad )\quad )\\ \delta は \delta=\varepsilon でOK \)
-***簡単な実験 [#x9b5346e]
 資料：
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 （虚数の情緒P424とP450～に詳しく書いている）
-***積分のロジック [#pcd445a8]
+**微分の公式の極限、εδを観察する [#n8b08785]
+資料：[[無限の問題を解消した「極限」ーそれは100年の努力によって生み出され:https://www.youtube.com/watch?v=jgthg8qfYlQ]]
+#youtube(jgthg8qfYlQ)
+\(
+f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }-5として\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ h } =f'\left( x \right)  } の極限を\varepsilon \delta 論法で考える\\ この微分の公式から極限を除いた\quad g\left( h \right) =\frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ h } \quad を作りf\left( x \right) を適用して展開する\\ \\ g\left( h \right) =\frac { \left\{ { \left( x+h \right)  }^{ 2 }-5 \right\} -\left( { x }^{ 2 }-5 \right)  }{ h } =\frac { \left( x^{ 2 }+2xh+h^{ 2 }-5 \right) -{ x }^{ 2 }+5 }{ h } =2x+h\\ \\ この\quad g\left( h \right) =2x+h\quad に極限を付けなおして計算すると\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ g\left( h \right) =2x+h } =2x+0=2x=g'\left( h \right) \quad となる\\ \\ \left( もちろん冪の微分「f\left( x \right) \mapsto f'\left( x \right) \quad { x }^{ n }\mapsto n{ x }^{ n-1 }」を利用して{ x }^{ 2 }-5\mapsto 2xを利用してもよい \right) \\ 結果、\lim _{ h\rightarrow 0 }{ g\left( h \right) =2x } \quad となる\\ \\ これを\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha  } の\varepsilon \delta 論法のフレームワーク\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha  \right| <\varepsilon \quad )\quad に適切に載せると\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| h-0 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \left( 2x+h \right) -2x \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-\delta <h<\delta \quad \wedge \quad h≠0)\quad \Rightarrow \quad -\varepsilon <h<\varepsilon \quad )\quad )\quad となる\\ \\ これはグラフを見るまでもなく\varepsilon と\delta によってhが挟み撃ちにされて閉じ込められている事を意味している\\ 実際に利用してみる。εは任意（自由な値を選ぶ）。とりあえずε=1とする\\ δは導出はともかく\delta =\varepsilon にして計算すると論理式は\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-1<h<1\quad \wedge \quad h≠0)\quad \Rightarrow \quad -1<h<1\quad )\quad )\quad となる\\ このままεの値を１から小さくしていくと、δの値はεの値に引きずられて絶対値的に小さくなり、\\ hはこの挟み撃ちされた空間内で限りなく小さな値となり、極限の計算結果は真値g'\left( h \right) =2xに向かい無限に収束していく
+\)
+**積分のロジック [#pcd445a8]
+資料：
 -[[積分で面積が求まるのはなぜ？ー定積分をイメージでとらえる:https://www.youtube.com/watch?v=b1d-BAxvoWA]]
+#youtube(b1d-BAxvoWA)
 \(F\left( x \right) を微分したものがf\left( x \right) とする\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad { \left[ F\left( x \right)  \right]  }_{ a }^{ b }\quad =\quad F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad \cdots ①\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { F\left( b \right) -F\left( a \right)  }{ b-a }  } =f(a)\\ \\ h=b-a\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad \cdots ④\quad として\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F\left( a+h \right) -F\left( a \right)  }{ h }  } =f(a)\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ F\left( a+h \right) -F\left( a \right)  } =f(a)\cdot h\quad \cdots ②\\ \\ f\left( x \right) のグラフを区分求積法を利用して和を求めるとする。②の左辺がF\left( a+h \right) -F\left( a \right) 、右辺がf(a)\cdot h。右辺に注目し\\ 区分間の幅をh、分割数をnと考えれば、このaを等差にして{ a }_{ n }=\left\{ a\quad ,\quad a+h\quad ,\quad a+2h\quad ,\cdots ,\quad a+\left( n-1 \right) h \right\} の総和をとれば面積が求められる\\ \\ \begin{matrix} \begin{eqnarray} F\left( a+h \right) -F\left( a \right)  & \quad =\quad  & f(a)\cdot h \\ F\left( a+2h \right) -F\left( a+h \right)  & = & f(a+h)\cdot h \\ F\left( a+3h \right) -F\left( a+2h \right)  & = & f(a+2h)\cdot h \\ F\left( a+4h \right) -F\left( a+3h \right)  & = & f(a+3h)\cdot h \\ \vdots  & = & \vdots  \\ F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) -F\left( a+\left( n-2 \right) h \right)  & = & f(a+\left( n-2 \right) h)\cdot h \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a+\left( n-1 \right) h \right)  & = & f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h \end{eqnarray} \\ +)\_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_  \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a \right) \quad =\quad f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h\quad \cdots ③ \end{matrix}\\ \\ この③式の左辺にあるnhは分割数と区分幅を掛算したものでb=a+nh\quad \cdots ⑤と考えられる。従って③は\\ \\ F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \quad となり、これに①を代入すると\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \\ \\ となる。\\ \\ ＜補足＞\\ ④は微分内の考えであり⑤は積分内で考えている点に留意\\ つまり④のhは総和される前の幅であり、⑤のnhは総和された幅\)

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