イプシロンデルタ_メモ2

簡単な実験

資料：

• イプシロン-デルタ論法

\(
\lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \quad x }^{ 2 } } =4\\ \\ この極限式の\varepsilon \delta 論法のフレームワークは以下になる\\ \\ \lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad )\\ \\ これに最初の式を乗せて絶対値を展開すると以下になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-2 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\delta <x<2+\delta \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-\varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+\varepsilon \quad )\\ \\ \varepsilon は任意（自由な値を選ぶ）。とりあえず\varepsilon =1とする。\\ \delta は導出はともかくwikiの式を使う。\delta =\sqrt { \varepsilon +4 } -2\\ すると以下のような論理式になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\left( \sqrt { 1+4 } -2 \right) <x<2+\left( \sqrt { 1+4 } -2 \right) \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1\quad \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (4-\sqrt { 5 } <x<\sqrt { 5 } \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (1.763...<x<2.236...\quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad )\\ \\ これをグラフ図で確認すると以下のようになっている\\ 青色のグラフがf\left( x \right) ={ x }^{ 2 }。赤色のグラフがbと\alpha 。緑色のグラフがb-\delta ,b+\delta ,\alpha -\varepsilon ,\alpha +\varepsilon
\)

赤色の線が緑色の線に挟み撃ちにされて閉じ込められている事がグラフを見てわかる。このようにεδ論法のフレームワーク内にエラーが無ければ極限が正常に動くという事になっている
このまま\(\varepsilon\)の値を１から小さくしていくと、\(\delta\)の値は\(\varepsilon\)の値に引きずられて絶対値的に小さくなり、緑の線は赤色の線に向かってどんどん限りなく近づいていく（しかし、\(x≠2\)と論理式で指定されているので重なることはない）
\(f(x)={x}^{2}は、この緑の線に囲まれた空間内に閉じ込められ外に出られないので、どんどん小さくなる、この空間内で真値\alphaに向かい収束していく\)

以上を踏まえて考えをまとめてみる

• εとδは真値αを閉じ込めるオリ
• εもδも無限に近い有限の値で常に正の数（つまり壁εδと囚人αとの距離）
• このオリの空間内でのみxとf(x)は動けてxはbそのものにはなれない。従って本当はf(x)はαそのものにはなれない
• しかし実数の範囲までは連続性があり同一とできる部分も出てくる（微積分と物理​/実数の定義）
• 無理数等に関しては近似値となる

εδ論法の機能は以下の①②の手順を踏んでいる

①無限っぽい有限を定義
②無限を使って収束を定義（収束はアルキメデスの原則に従う。数の大小の比較を反転させた仮定に対する否定を利用する）

（虚数の情緒P424とP450～に詳しく書いている）

微分の公式の極限、εδを観察する

資料：

• 無限の問題を解消した「極限」ーそれは100年の努力によって生み出され

\(
f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }-5として\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } =f'\left( x \right) } の極限を\varepsilon \delta 論法で考える\\ この微分の公式から極限を除いた\quad g\left( h \right) =\frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } \quad を作りf\left( x \right) を適用して展開する\\ \\ g\left( h \right) =\frac { \left\{ { \left( x+h \right) }^{ 2 }-5 \right\} -\left( { x }^{ 2 }-5 \right) }{ h } =\frac { \left( x^{ 2 }+2xh+h^{ 2 }-5 \right) -{ x }^{ 2 }+5 }{ h } =2x+h\\ \\ この\quad g\left( h \right) =2x+h\quad に極限を付けなおして計算すると\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ g\left( h \right) =2x+h } =2x+0=2x=g'\left( h \right) \quad となる\\ \\ \left( もちろん冪の微分「f\left( x \right) \mapsto f'\left( x \right) \quad { x }^{ n }\mapsto n{ x }^{ n-1 }」を利用して{ x }^{ 2 }-5\mapsto 2xを利用してもよい \right) \\ 結果、\lim _{ h\rightarrow 0 }{ g\left( h \right) =2x } \quad となる\\ \\ これを\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha } の\varepsilon \delta 論法のフレームワーク\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\quad に適切に載せると\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| h-0 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \left( 2x+h \right) -2x \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-\delta <h<\delta \quad \wedge \quad h≠0)\quad \Rightarrow \quad -\varepsilon <h<\varepsilon \quad )\quad )\quad となる\\ \\ これはグラフを見るまでもなく\varepsilon と\delta によってhが挟み撃ちにされて閉じ込められている事を意味している\\ 実際に利用してみる。εは任意（自由な値を選ぶ）。とりあえずε=1とする\\ δは導出はともかく\delta =\varepsilon にして計算すると論理式は\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-1<h<1\quad \wedge \quad h≠0)\quad \Rightarrow \quad -1<h<1\quad )\quad )\quad となる\\ このままεの値を１から小さくしていくと、δの値はεの値に引きずられて絶対値的に小さくなり、\\ hはこの挟み撃ちされた空間内で限りなく小さな値となり、極限の計算結果は真値g'\left( h \right) =2xに向かい無限に収束していく
\)

積分のロジック

資料：

• 積分で面積が求まるのはなぜ？ー定積分をイメージでとらえる

\(F\left( x \right) を微分したものがf\left( x \right) とする\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad { \left[ F\left( x \right) \right] }_{ a }^{ b }\quad =\quad F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad \cdots ①\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { F\left( b \right) -F\left( a \right) }{ b-a } } =f(a)\\ \\ h=b-a\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad \cdots ④\quad として\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F\left( a+h \right) -F\left( a \right) }{ h } } =f(a)\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ F\left( a+h \right) -F\left( a \right) } =f(a)\cdot h\quad \cdots ②\\ \\ f\left( x \right) のグラフを区分求積法を利用して和を求めるとする。②の左辺がF\left( a+h \right) -F\left( a \right) 、右辺がf(a)\cdot h。右辺に注目し\\ 区分間の幅をh、分割数をnと考えれば、このaを等差にして{ a }_{ n }=\left\{ a\quad ,\quad a+h\quad ,\quad a+2h\quad ,\cdots ,\quad a+\left( n-1 \right) h \right\} の総和をとれば面積が求められる\\ \\ \begin{matrix} \begin{eqnarray} F\left( a+h \right) -F\left( a \right) & \quad =\quad & f(a)\cdot h \\ F\left( a+2h \right) -F\left( a+h \right) & = & f(a+h)\cdot h \\ F\left( a+3h \right) -F\left( a+2h \right) & = & f(a+2h)\cdot h \\ F\left( a+4h \right) -F\left( a+3h \right) & = & f(a+3h)\cdot h \\ \vdots & = & \vdots \\ F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) -F\left( a+\left( n-2 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-2 \right) h)\cdot h \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h \end{eqnarray} \\ +)\_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a \right) \quad =\quad f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h\quad \cdots ③ \end{matrix}\\ \\ この③式の左辺にあるnhは分割数と区分幅を掛算したものでb=a+nh\quad \cdots ⑤と考えられる。従って③は\\ \\ F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \quad となり、これに①を代入すると\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \\ \\ となる。\\ \\ ＜補足＞\\ ④は微分内の考えであり⑤は積分内で考えている点に留意\\ つまり④のhは総和される前の幅であり、⑤のnhは総和された幅\)

微分のロジック

\( \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \\ \\ b-a=h\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad ,\quad a=x\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ 代数的な微分\quad { x }^{ n }\quad \mapsto \quad n{ x }^{ n-1 }\\ その使用例：f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad \quad ,\quad \quad f\left( t \right) ={ 4.9t }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( t \right) =9.8t\\ \\ このこの微分への記号的操作による変換の根拠は以下の方程式を解くことで確かめられる\\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) =x^{ n }\quad \cdots ① \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \cdots ② \end{cases}\\ \\ ①を②に代入\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ \left( x+h \right) ^{ n }の部分を二項定理\quad { \left( a+b \right) }^{ n }=_{ n }{ C }_{ r }{ a }^{ n-r }b^{ r }\quad を利用して展開する\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { _{ n }{ C }_{ 0 }x^{ n } }+{ _{ n }{ C }_{ 1 }x^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ _{ n }{ C }_{ n-1 }xh^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ r }h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x^{ n } }+{ nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 式を整理\\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 2 } }+\cdots +{ nxh^{ n-2 } }+{ h^{ n-1 } } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 分母を払う\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }0 }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }0 }+\cdots +{ nx0 }+0=f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 極限を取る\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }=f'\left( x \right) \\ \\ 微分の本質に二項定理が深く関係している事がよくわかる \)

ネイピア数を求める際にも、テイラー展開やマクローリン展開する際でも「無限が関わってくる指数計算では」ほぼ必ず関係してくる