1: 2016-11-07 (月) 01:21:11 osinko  |
2: 2016-11-07 (月) 02:39:02 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| - | 極限の定義 | + | プログレス |
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| - | \(\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } -f'\left( a \right) \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) -\varepsilon <\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } <f'\left( a \right) +\varepsilon \quad )\quad ) \) | + | ***極限の定義 [#u792a56d] |
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| | + | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \) |
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| | + | \( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } -f'\left( a \right) \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) -\varepsilon <\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } <f'\left( a \right) +\varepsilon \quad )\quad ) \) |
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| | + | ***簡単な実験 [#x9b5346e] |
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| | + | \(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad ,\quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad ,\quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \quad の式のbとaに適当な数字をあてはめて極限をシミュレーションしてみる\\ \\ \lim _{ 7\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 7 \right) -f\left( 3 \right) }{ 7-3 } } \ge f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 49-9 }{ 7-3 } =10\ge 6\quad \quad \cdots bとaを徐々に近づけていく\\ \lim _{ 6\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 6 \right) -f\left( 3 \right) }{ 6-3 } } \ge f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 36-9 }{ 6-3 } =9\ge 6\\ \lim _{ 5\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 5 \right) -f\left( 3 \right) }{ 5-3 } } \ge f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 25-9 }{ 5-3 } =8\ge 6\\ \lim _{ 4\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 4 \right) -f\left( 3 \right) }{ 4-3 } } \ge f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 16-9 }{ 4-3 } =7\ge 6\\ \lim _{ 3.1\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 3.1 \right) -f\left( 3 \right) }{ 3.1-3 } } \ge f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 9.61-9 }{ 3.1-3 } =6.1\ge 6\\ \lim _{ 3\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 3 \right) -f\left( 3 \right) }{ 3-3 } } \ge f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad 計算不可、左辺に\frac { 0 }{ 0 } 型の式が出来て計算できない\frac { 9-9 }{ 3-3 } \ge 6\) |
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| | + | ***ニュートンラフソンと極限の考えを接続したい [#ke7e3c91] |
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| | + | \(\lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) |
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| | + | これをなんとか論理的な証明を表現したい |
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| | + | ①無限を定義 |
| | + | ②無限を使って収束を定義（収束はアルキメデスの原則に従う。数の大小の比較を反転させた仮定に対する否定を利用する） |
| | + | //③指数のマイナスに対する扱い、虚数の扱いに問題（情報不足） |
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| | + | （虚数の情緒P424とP450～を接続） |
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| | + | TODO |
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| | + | ***積分のロジック [#pcd445a8] |
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| | + | \(F\left( x \right) を微分したものがf\left( x \right) とする\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad { \left[ F\left( x \right) \right] }_{ a }^{ b }\quad =\quad F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad \cdots ①\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { F\left( b \right) -F\left( a \right) }{ b-a } } =f(a)\\ \\ h=b-a\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad \cdots ④\quad として\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F\left( a+h \right) -F\left( a \right) }{ h } } =f(a)\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ F\left( a+h \right) -F\left( a \right) } =f(a)\cdot h\quad \cdots ②\\ \\ f\left( x \right) のグラフを区分求積法を利用して和を求めるとする。②の左辺がF\left( a+h \right) -F\left( a \right) 、右辺がf(a)\cdot h。右辺に注目し\\ 区分間の幅をh、分割数をnと考えれば、このaを等差にして{ a }_{ n }=\left\{ a\quad ,\quad a+h\quad ,\quad a+2h\quad ,\cdots ,\quad a+\left( n-1 \right) h \right\} の総和をとれば面積が求められる\\ \\ \begin{matrix} \begin{eqnarray} F\left( a+h \right) -F\left( a \right) & \quad =\quad & f(a)\cdot h \\ F\left( a+2h \right) -F\left( a+h \right) & = & f(a+h)\cdot h \\ F\left( a+3h \right) -F\left( a+2h \right) & = & f(a+2h)\cdot h \\ F\left( a+4h \right) -F\left( a+3h \right) & = & f(a+3h)\cdot h \\ \vdots & = & \vdots \\ F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) -F\left( a+\left( n-2 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-2 \right) h)\cdot h \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h \end{eqnarray} \\ +)\_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a \right) \quad =\quad f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h\quad \cdots ③ \end{matrix}\\ \\ この③式の左辺にあるnhは分割数と区分幅を掛算したものでb=a+nh\quad \cdots ⑤と考えられる。従って③は\\ \\ F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \quad となり、これに①を代入すると\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \\ \\ となる。\\ \\ ＜補足＞\\ ④は微分内の考えであり⑤は積分内で考えている点に留意\\ つまり④のhは総和される前の幅であり、⑤のnhは総和された幅\) |
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| | + | ***微分のロジック [#w4e5f04e] |
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| | + | \(\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \\ \\ b-a=h\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad ,\quad a=x\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ 代数的な微分\quad { x }^{ n }\quad \mapsto \quad n{ x }^{ n-1 }\\ その使用例：f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad \quad ,\quad \quad f\left( t \right) ={ 4.9t }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( t \right) =9.8t\\ \\ このこの微分への記号的操作による変換の根拠は以下の方程式を解くことで確かめられる\\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) =x^{ n }\quad \cdots ① \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \cdots ② \end{cases}\\ \\ ①を②に代入\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ \left( x+h \right) ^{ n }の部分を二項定理\quad { \left( a+b \right) }^{ n }=_{ n }{ C }_{ r }{ a }^{ n-r }b^{ r }\quad を利用して展開する\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { _{ n }{ C }_{ 0 }x^{ n } }+{ _{ n }{ C }_{ 1 }x^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ _{ n }{ C }_{ n-1 }xh^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ r }h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x^{ n } }+{ nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 式を整理\\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 2 } }+\cdots +{ nxh^{ n-2 } }+{ h^{ n-1 } } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 分母を払う\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }0 }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }0 }+\cdots +{ nx0 }+0=f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 極限を取る\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }=f'\left( x \right) \\ \\ 微分の本質に二項定理が深く関係している事がよくわかる\\ ネイピア数を求める際にも、テイラー展開やマクローリン展開する際でも必ず関係してくる\) |
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