3: 2016-11-07 (月) 16:25:35 osinko  |
4: 2016-11-07 (月) 23:15:14 osinko |
| | プログレス | | プログレス |
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| - | ***極限の定義 [#u792a56d] | + | ***微分の極限の定義 [#u792a56d] |
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| | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \) | | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \) |
| | \(\lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) | | \(\lim _{ b\rightarrow a }{ b=a-\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } } \quad \Leftrightarrow \quad \quad { x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right) }{ f'\left( { x }_{ n } \right) } \) |
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| - | これをなんとか論理的な証明を表現したい | + | これをなんとか論理的な証明を表現したい。εδ論法の機能は以下の①②の手順を踏んでいる。これを踏襲して表現する |
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| | ①無限を定義 | | ①無限を定義 |
| | （虚数の情緒P424とP450～を接続） | | （虚数の情緒P424とP450～を接続） |
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| - | \(\lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } \quad =\quad b } \\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) ={ x }^{ n } \\ f'\left( x \right) =n{ x }^{ n-1 } \end{cases}より\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad \frac { na^{ n }+a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad na^{ n }+a^{ n }=na^{ n-1 }b } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a^{ n }\left( n+1 \right) =na^{ n-1 }b } \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| a^{ n }\left( n+1 \right) -na^{ n-1 }b \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad na^{ n-1 }b-\varepsilon <a^{ n }\left( n+1 \right) <na^{ n-1 }b+\varepsilon \quad )\quad ) \) | + | \(\lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { f\left( a \right) }{ f'\left( a \right) } \quad =\quad b } \\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) ={ x }^{ n } \\ f'\left( x \right) =n{ x }^{ n-1 } \end{cases}より\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a+\frac { a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad \frac { na^{ n }+a^{ n } }{ na^{ n-1 } } =b } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad na^{ n }+a^{ n }=na^{ n-1 }b } \quad \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \quad a^{ n }\left( n+1 \right) =na^{ n-1 }b } \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| a^{ n }\left( n+1 \right) -na^{ n-1 }b \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad na^{ n-1 }b-\varepsilon <a^{ n }\left( n+1 \right) <na^{ n-1 }b+\varepsilon \quad )\quad )\\ \\ \begin{cases} a^{ n }=f\left( a \right) \\ na^{ n-1 }=f'\left( a \right) \end{cases}より\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( a \right) \cdot \left( n+1 \right) -f'\left( a \right) \cdot b \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) \cdot b-\varepsilon <f\left( a \right) \cdot \left( n+1 \right) <f'\left( a \right) \cdot b+\varepsilon \quad )\quad ) \) |
| - | | + | |
| - | つまり・・・TODO | + | |
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| | ***積分のロジック [#pcd445a8] | | ***積分のロジック [#pcd445a8] |
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