5: 2016-11-08 (火) 18:16:31 osinko  |
6: 2016-11-09 (水) 00:42:37 osinko |
| | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \) | | \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \) |
| | | | |
| - | \( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } -f'\left( a \right) \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) -\varepsilon <\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } <f'\left( a \right) +\varepsilon \quad )\quad ) \) | + | \( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } -f'\left( a \right) \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) -\varepsilon <\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } <f'\left( a \right) +\varepsilon \quad )\quad )\\ \delta は\varepsilon =\delta でOK \) |
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| | ***簡単な実験 [#x9b5346e] | | ***簡単な実験 [#x9b5346e] |
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| - | \(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad ,\quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad ,\quad \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \quad の式のbとaに適当な数字をあてはめて極限をシミュレーションしてみる\\ \\ \lim _{ 7\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 7 \right) -f\left( 3 \right) }{ 7-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 49-9 }{ 7-3 } =10>6\quad \quad \cdots bとaを徐々に近づけていく\\ \lim _{ 6\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 6 \right) -f\left( 3 \right) }{ 6-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 36-9 }{ 6-3 } =9>6\\ \lim _{ 5\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 5 \right) -f\left( 3 \right) }{ 5-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 25-9 }{ 5-3 } =8>6\\ \lim _{ 4\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 4 \right) -f\left( 3 \right) }{ 4-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 16-9 }{ 4-3 } =7>6\\ \lim _{ 3.1\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 3.1 \right) -f\left( 3 \right) }{ 3.1-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \frac { 9.61-9 }{ 3.1-3 } =6.1>6\\ \lim _{ 3\rightarrow 3 }{ \frac { f\left( 3 \right) -f\left( 3 \right) }{ 3-3 } } >f'\left( 3 \right) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad 計算不可、左辺に\frac { 0 }{ 0 } 型の式が出来て計算できない\frac { 9-9 }{ 3-3 } >6\) | + | 資料：[[イプシロン-デルタ論法:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95]] |
| | + | |
| | + | \( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \quad x }^{ 2 } } =4\\ \\ \varepsilon \delta 論法のフレームワークに乗せると以下になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-2 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\delta <x<2+\delta \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-\varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+\varepsilon \quad )\\ \\ \varepsilon は任意（自由な値を選ぶ）。とりあえず\varepsilon =1とする。\\ \delta は導出はともかくwikiの式を使う。\delta =\sqrt { \varepsilon +4 } -2\\ すると以下のような論理式になる \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\sqrt { 1+4 } -2<x<;2+\sqrt { 1+4 } -2\quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1\quad \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-\sqrt { 5 } <x<;\sqrt { 5 } \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad ) \) |
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| | + | これをグラフ図で確認すると以下のようになっている |
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| | ***積分のロジック [#pcd445a8] | | ***積分のロジック [#pcd445a8] |
| | ***微分のロジック [#w4e5f04e] | | ***微分のロジック [#w4e5f04e] |
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| - | \(\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \\ \\ b-a=h\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad ,\quad a=x\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ 代数的な微分\quad { x }^{ n }\quad \mapsto \quad n{ x }^{ n-1 }\\ その使用例：f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad \quad ,\quad \quad f\left( t \right) ={ 4.9t }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( t \right) =9.8t\\ \\ このこの微分への記号的操作による変換の根拠は以下の方程式を解くことで確かめられる\\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) =x^{ n }\quad \cdots ① \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \cdots ② \end{cases}\\ \\ ①を②に代入\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ \left( x+h \right) ^{ n }の部分を二項定理\quad { \left( a+b \right) }^{ n }=_{ n }{ C }_{ r }{ a }^{ n-r }b^{ r }\quad を利用して展開する\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { _{ n }{ C }_{ 0 }x^{ n } }+{ _{ n }{ C }_{ 1 }x^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ _{ n }{ C }_{ n-1 }xh^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ r }h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x^{ n } }+{ nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 式を整理\\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 2 } }+\cdots +{ nxh^{ n-2 } }+{ h^{ n-1 } } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 分母を払う\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }0 }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }0 }+\cdots +{ nx0 }+0=f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 極限を取る\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }=f'\left( x \right) \\ \\ 微分の本質に二項定理が深く関係している事がよくわかる\\ ネイピア数を求める際にも、テイラー展開やマクローリン展開する際でも必ず関係してくる\) | + | \( \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \\ \\ b-a=h\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad ,\quad a=x\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ 代数的な微分\quad { x }^{ n }\quad \mapsto \quad n{ x }^{ n-1 }\\ その使用例：f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad \quad ,\quad \quad f\left( t \right) ={ 4.9t }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( t \right) =9.8t\\ \\ このこの微分への記号的操作による変換の根拠は以下の方程式を解くことで確かめられる\\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) =x^{ n }\quad \cdots ① \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \cdots ② \end{cases}\\ \\ ①を②に代入\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ \left( x+h \right) ^{ n }の部分を二項定理\quad { \left( a+b \right) }^{ n }=_{ n }{ C }_{ r }{ a }^{ n-r }b^{ r }\quad を利用して展開する\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { _{ n }{ C }_{ 0 }x^{ n } }+{ _{ n }{ C }_{ 1 }x^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ _{ n }{ C }_{ n-1 }xh^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ r }h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x^{ n } }+{ nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 式を整理\\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 2 } }+\cdots +{ nxh^{ n-2 } }+{ h^{ n-1 } } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 分母を払う\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }0 }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }0 }+\cdots +{ nx0 }+0=f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 極限を取る\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }=f'\left( x \right) \\ \\ 微分の本質に二項定理が深く関係している事がよくわかる \) |
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| | + | ネイピア数を求める際にも、テイラー展開やマクローリン展開する際でも&font(Red){「無限が関わってくる指数計算では」};ほぼ必ず関係してくる |
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