7: 2016-11-09 (水) 09:08:10 osinko  |
8: 2016-11-10 (木) 04:11:47 osinko |
| | ***簡単な実験 [#x9b5346e] | | ***簡単な実験 [#x9b5346e] |
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| - | 資料：[[イプシロン-デルタ論法:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95]] | + | 資料： |
| | + | -[[イプシロン-デルタ論法:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95]] |
| | + | //-[[無限の問題を解消した「極限」ーそれは100年の努力によって生み出された:https://www.youtube.com/watch?v=jgthg8qfYlQ&index=7&list=PLw2o_GLCMgkxX1yGrs5y0AVU2jMB5UW8M]] |
| | + | //-[[ニュートンのイノベーション：流率法で接線の傾きを求める:https://www.youtube.com/watch?v=jmd9cThbXOA&list=PLw2o_GLCMgkxX1yGrs5y0AVU2jMB5UW8M&index=4]] |
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| | \( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \quad x }^{ 2 } } =4\\ \\ \varepsilon \delta 論法のフレームワークに乗せると以下になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-2 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\delta <x<2+\delta \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-\varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+\varepsilon \quad )\\ \\ \varepsilon は任意（自由な値を選ぶ）。とりあえず\varepsilon =1とする。\\ \delta は導出はともかくwikiの式を使う。\delta =\sqrt { \varepsilon +4 } -2\\ すると以下のような論理式になる \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\sqrt { 1+4 } -2<x<2+\sqrt { 1+4 } -2\quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1\quad \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-\sqrt { 5 } <x<\sqrt { 5 } \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad ) \) | | \( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \quad x }^{ 2 } } =4\\ \\ \varepsilon \delta 論法のフレームワークに乗せると以下になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-2 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\delta <x<2+\delta \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-\varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+\varepsilon \quad )\\ \\ \varepsilon は任意（自由な値を選ぶ）。とりあえず\varepsilon =1とする。\\ \delta は導出はともかくwikiの式を使う。\delta =\sqrt { \varepsilon +4 } -2\\ すると以下のような論理式になる \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\sqrt { 1+4 } -2<x<2+\sqrt { 1+4 } -2\quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1\quad \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-\sqrt { 5 } <x<\sqrt { 5 } \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad ) \) |
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| | ***積分のロジック [#pcd445a8] | | ***積分のロジック [#pcd445a8] |
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| | + | -[[積分で面積が求まるのはなぜ？ー定積分をイメージでとらえる:https://www.youtube.com/watch?v=b1d-BAxvoWA]] |
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| | \(F\left( x \right) を微分したものがf\left( x \right) とする\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad { \left[ F\left( x \right) \right] }_{ a }^{ b }\quad =\quad F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad \cdots ①\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { F\left( b \right) -F\left( a \right) }{ b-a } } =f(a)\\ \\ h=b-a\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad \cdots ④\quad として\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F\left( a+h \right) -F\left( a \right) }{ h } } =f(a)\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ F\left( a+h \right) -F\left( a \right) } =f(a)\cdot h\quad \cdots ②\\ \\ f\left( x \right) のグラフを区分求積法を利用して和を求めるとする。②の左辺がF\left( a+h \right) -F\left( a \right) 、右辺がf(a)\cdot h。右辺に注目し\\ 区分間の幅をh、分割数をnと考えれば、このaを等差にして{ a }_{ n }=\left\{ a\quad ,\quad a+h\quad ,\quad a+2h\quad ,\cdots ,\quad a+\left( n-1 \right) h \right\} の総和をとれば面積が求められる\\ \\ \begin{matrix} \begin{eqnarray} F\left( a+h \right) -F\left( a \right) & \quad =\quad & f(a)\cdot h \\ F\left( a+2h \right) -F\left( a+h \right) & = & f(a+h)\cdot h \\ F\left( a+3h \right) -F\left( a+2h \right) & = & f(a+2h)\cdot h \\ F\left( a+4h \right) -F\left( a+3h \right) & = & f(a+3h)\cdot h \\ \vdots & = & \vdots \\ F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) -F\left( a+\left( n-2 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-2 \right) h)\cdot h \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h \end{eqnarray} \\ +)\_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a \right) \quad =\quad f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h\quad \cdots ③ \end{matrix}\\ \\ この③式の左辺にあるnhは分割数と区分幅を掛算したものでb=a+nh\quad \cdots ⑤と考えられる。従って③は\\ \\ F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \quad となり、これに①を代入すると\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \\ \\ となる。\\ \\ ＜補足＞\\ ④は微分内の考えであり⑤は積分内で考えている点に留意\\ つまり④のhは総和される前の幅であり、⑤のnhは総和された幅\) | | \(F\left( x \right) を微分したものがf\left( x \right) とする\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad { \left[ F\left( x \right) \right] }_{ a }^{ b }\quad =\quad F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad \cdots ①\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { F\left( b \right) -F\left( a \right) }{ b-a } } =f(a)\\ \\ h=b-a\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad \cdots ④\quad として\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F\left( a+h \right) -F\left( a \right) }{ h } } =f(a)\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ F\left( a+h \right) -F\left( a \right) } =f(a)\cdot h\quad \cdots ②\\ \\ f\left( x \right) のグラフを区分求積法を利用して和を求めるとする。②の左辺がF\left( a+h \right) -F\left( a \right) 、右辺がf(a)\cdot h。右辺に注目し\\ 区分間の幅をh、分割数をnと考えれば、このaを等差にして{ a }_{ n }=\left\{ a\quad ,\quad a+h\quad ,\quad a+2h\quad ,\cdots ,\quad a+\left( n-1 \right) h \right\} の総和をとれば面積が求められる\\ \\ \begin{matrix} \begin{eqnarray} F\left( a+h \right) -F\left( a \right) & \quad =\quad & f(a)\cdot h \\ F\left( a+2h \right) -F\left( a+h \right) & = & f(a+h)\cdot h \\ F\left( a+3h \right) -F\left( a+2h \right) & = & f(a+2h)\cdot h \\ F\left( a+4h \right) -F\left( a+3h \right) & = & f(a+3h)\cdot h \\ \vdots & = & \vdots \\ F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) -F\left( a+\left( n-2 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-2 \right) h)\cdot h \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h \end{eqnarray} \\ +)\_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a \right) \quad =\quad f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h\quad \cdots ③ \end{matrix}\\ \\ この③式の左辺にあるnhは分割数と区分幅を掛算したものでb=a+nh\quad \cdots ⑤と考えられる。従って③は\\ \\ F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \quad となり、これに①を代入すると\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \\ \\ となる。\\ \\ ＜補足＞\\ ④は微分内の考えであり⑤は積分内で考えている点に留意\\ つまり④のhは総和される前の幅であり、⑤のnhは総和された幅\) |
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