8: 2016-11-10 (木) 04:11:47 osinko  |
9: 2016-11-11 (金) 00:21:28 osinko |
| | //-[[ニュートンのイノベーション：流率法で接線の傾きを求める:https://www.youtube.com/watch?v=jmd9cThbXOA&list=PLw2o_GLCMgkxX1yGrs5y0AVU2jMB5UW8M&index=4]] | | //-[[ニュートンのイノベーション：流率法で接線の傾きを求める:https://www.youtube.com/watch?v=jmd9cThbXOA&list=PLw2o_GLCMgkxX1yGrs5y0AVU2jMB5UW8M&index=4]] |
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| - | \( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \quad x }^{ 2 } } =4\\ \\ \varepsilon \delta 論法のフレームワークに乗せると以下になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-2 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\delta <x<2+\delta \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-\varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+\varepsilon \quad )\\ \\ \varepsilon は任意（自由な値を選ぶ）。とりあえず\varepsilon =1とする。\\ \delta は導出はともかくwikiの式を使う。\delta =\sqrt { \varepsilon +4 } -2\\ すると以下のような論理式になる \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\sqrt { 1+4 } -2<x<2+\sqrt { 1+4 } -2\quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1\quad \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-\sqrt { 5 } <x<\sqrt { 5 } \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad ) \) | + | \( |
| | + | \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \quad x }^{ 2 } } =4\\ \\ この極限式の\varepsilon \delta 論法のフレームワークは以下になる\\ \\ \lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad )\\ \\ これに最初の式を乗せて絶対値を展開すると以下になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-2 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\delta <x<2+\delta \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-\varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+\varepsilon \quad )\\ \\ \varepsilon は任意（自由な値を選ぶ）。とりあえず\varepsilon =1とする。\\ \delta は導出はともかくwikiの式を使う。\delta =\sqrt { \varepsilon +4 } -2\\ すると以下のような論理式になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\left( \sqrt { 1+4 } -2 \right) <x<2+\left( \sqrt { 1+4 } -2 \right) \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1\quad \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (4-\sqrt { 5 } <x<\sqrt { 5 } \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (1.763...<x<2.236...\quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad )\\ \\ これをグラフ図で確認すると以下のようになっている\\ 青色のグラフがf\left( x \right) ={ x }^{ 2 }。赤色のグラフがbと\alpha 。緑色のグラフがb-\delta ,b+\delta ,\alpha -\varepsilon ,\alpha +\varepsilon |
| | + | \) |
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| - | これをグラフ図で確認すると以下のようになっている | + | &ref(grp3.png); |
| | + | |
| | + | 赤色の線が緑色の線に挟み撃ちにされて閉じ込められている事がグラフを見てわかる。このようにεδ論法のフレームワーク内にエラーが無ければ極限が正常に動くという事になっている |
| | + | このまま\(\varepsilon\)の値を１から小さくしていくと、\(\delta\)の値は\(\varepsilon\)の値に引きずられて絶対値的に小さくなり、緑の線は赤色の線に向かってどんどん限りなく近づいていく（しかし、\(x≠2\)と論理式で指定されているので重なることはない） |
| | + | \(f(x)={x}^{2}は、この緑の線に囲まれた空間内に閉じ込められ外に出られないので、どんどん小さくなる、この空間内で真値\alphaに向かい収束していく\) |
| | + | |
| | + | 以上を踏まえて考えをまとめてみる |
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| | + | -εとδは真値αを閉じ込めるオリ |
| | + | -εもδも無限に近い有限の値で常に正の数（つまり壁εδと囚人αとの距離） |
| | + | -このオリの空間内でのみxとf(x)は動けてxはbそのものにはなれない。従って本当はf(x)はαそのものにはなれない |
| | + | -しかし、数の連続性を考えるとf(x)はαそのものになれる（デデキント切断） |
| | + | |
| | + | εδ論法の機能は以下の①②の手順を踏んでいる |
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| | + | ①無限っぽい有限を定義 |
| | + | ②無限を使って収束を定義（収束はアルキメデスの原則に従う。数の大小の比較を反転させた仮定に対する否定を利用する） |
| | + | |
| | + | （虚数の情緒P424とP450～に詳しく書いている） |
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| | ***積分のロジック [#pcd445a8] | | ***積分のロジック [#pcd445a8] |
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