4: 2016-11-14 (月) 13:03:06 osinko  |
5: 2016-11-16 (水) 23:42:19 osinko |
| - | TITLE:イプシロンデルタ_メモ3 | |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| - | memo | |
| - | 関数を傾きで割ると何になる？ | |
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| - | y=mx+b → y/m=x+b/m | + | ***結局、\(\varepsilon\)と\(\delta\)は何を意味しているのか？ [#p223c95f] |
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| - | （もうちょっとまともな文章にする） | + | 結局、\(\varepsilon\)と\(\delta\)は何を意味しているのだろう？ ここで関数の極限を見直して考えてみる |
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| - | ***結局、εとδは何を意味しているのか？ [#qdd60be2] | + | \(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad ) \) |
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| - | 結局、εとδは何を意味しているのだろう？ ここで関数の極限を見直して考えてみる | + | \(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して0にはならない） |
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| - | 関数の極限の収束は以下の論理式になる | + | |
| - | \(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad )\) | + | |
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| - | &font(Red){\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して０にはならない）}; | + | |
| | では\(\delta\)は？ | | では\(\delta\)は？ |
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| - | \(関数の極限の収束を考えた場合、\left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon なので\varepsilon を基準に\delta の値を作ると考えるとf\left( b\pm \delta \right) \simeq \pm \varepsilon としてg\left( \alpha \pm \varepsilon \right) \simeq \pm \delta のような逆関数の近似を作れば良いと考えられる\) | + | 関数の極限の収束を考えた場合、\(\left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon\) なので\(\varepsilon\) を基準に \(\delta\) の値を作ると考えると \(f\left( b\pm \delta \right) \simeq \pm \varepsilon\) として \(g\left( \alpha \pm \varepsilon \right) \simeq \pm \delta\)のような逆関数\(g\)の近似を作れば良いと考えられる |
| - | \(この\varepsilon \delta でxとf\left( x \right) を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だが、必ずしも\delta が\varepsilon の逆関数である必要はない\) | + | |
| - | \(ここで論理式に注目すると\deltaは「\exists \delta >0」と指定されている。「\exists（ターンイー）」は存在量化子と呼ばれる論理記号で日本語では「適当な値が存在する」と訳される。この場合、「0より大きな適当な値 \delta」 が存在するとなる\) | + | |
| - | この場合\(\delta\)は「\(\varepsilon \delta \)の論理式の条件を満たせば極限は動く」と考え、&font(Red){εに対応してさえいれば\(\dot { 適 } \dot { 当 } \)（テキトー）な値で良い}; | + | |
| - | \(\delta\)は条件さえ満たせば、どんな形でも良いものだという事になっている | + | |
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| - | ここで一つ疑問が出てくる。何故、逆関数であると言い切らないのだろうか？・・・「対応している」という言い回しが逆関数をあらわしているのだろうか？（調べる必要アリ）TODO | + | |
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| - | ***εδ論法の根拠 [#pcfbce49] | + | |
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| - | TODO | + | |
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| - | この極限という機関の動力は無限に小さくなっていくεをガソリンにしている。その構造的根拠は数学的帰納で保証されている（[[微積分と物理/数学的帰納]]）。数学的帰納は以下の論理式で定義されている | + | |
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| - | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して | + | この\(\varepsilon \delta\) で \(x\) と \(f(x)\)を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だ |
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| - | \( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \mathbb{N})\quad (p(k)\Rightarrow p(k+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\) | |
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| - | が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている | + | ここで、\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか？この事に対して考える。例えば放物線を描く関数 \(y=f(x)={x}^{2}\) の一点を \(x=p\) と定めた時、対応する\(y\)の値は \({p}^{2}\) となる。即ち座標 \((p ,{ p }^{ 2 })\) となり、この \(p\) に \(\varepsilon >0,\delta >0\) である事を注意しながら \(b + \delta\) を代入すると \({ \left( b +\delta \right) }^{ 2 }=\alpha + \varepsilon \) の関係が成り立つ。この式を \(\delta\) に対して解くと |
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| - | +数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事を示している | + | \({ \left( b+\delta \right) }^{ 2 }=\alpha +\varepsilon \quad \rightarrow \quad b+\delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } \quad \rightarrow \quad \delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } -b \) となる |
| - | +任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す。これは離散的に連続するすべての自然数を入力とした関数が同じ性質を持っている事を示している | + | |
| - | //（\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明） | + | |
| - | +1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける | + | |
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| - | ***ニュートンラフソンの極限、εδの観察 [#v58aab31] | + | ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha } \) より\(b=2,\alpha=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる |
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