5: 2016-11-16 (水) 23:42:19 osinko  |
6: 2016-11-17 (木) 00:55:04 osinko |
| | \(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad ) \) | | \(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad ) \) |
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| - | \(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して0にはならない） | + | &font(Red){\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して0にはならない）}; |
| | では\(\delta\)は？ | | では\(\delta\)は？ |
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| | 関数の極限の収束を考えた場合、\(\left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon\) なので\(\varepsilon\) を基準に \(\delta\) の値を作ると考えると \(f\left( b\pm \delta \right) \simeq \pm \varepsilon\) として \(g\left( \alpha \pm \varepsilon \right) \simeq \pm \delta\)のような逆関数\(g\)の近似を作れば良いと考えられる | | 関数の極限の収束を考えた場合、\(\left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon\) なので\(\varepsilon\) を基準に \(\delta\) の値を作ると考えると \(f\left( b\pm \delta \right) \simeq \pm \varepsilon\) として \(g\left( \alpha \pm \varepsilon \right) \simeq \pm \delta\)のような逆関数\(g\)の近似を作れば良いと考えられる |
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| - | この\(\varepsilon \delta\) で \(x\) と \(f(x)\)を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だ | + | 表現したい極限が収束の場合、この\(\varepsilon \delta\) で \(x\) と \(f(x)\)を包囲、挟み撃ちしてしまう訳だ |
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| | ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha } \) より\(b=2,\alpha=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる | | ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha } \) より\(b=2,\alpha=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる |
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| | + | #hr |
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| | + | 資料：[[数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]] |
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| | + | 「 \(\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\) 」の部分に注目してみる |
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| | + | この部分を日本語に翻訳すると、「任意の正の数\(\varepsilon\)が与えられたとき、その\(\varepsilon\)に対応して・・・が成り立つ正の数\(\delta\)を見つけることが出来る。」となる |
| | + | 注意するのは、この「\(\forall\) (全称限量記号 forall)」と「\(\exists\) (存在限量記号 exists)」という論理記号が集合を指しているという点と、この「対応して」という部分 |
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