9: 2016-06-03 (金) 21:28:14 osinko  |
10: 2016-06-03 (金) 23:14:07 osinko |
| | **等差数列 [#n19fddd7] | | **等差数列 [#n19fddd7] |
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| - | &font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \quad \quad （{ a }_{1}:初項\quad d:公差\quad n:項数）\)&br;}; | + | \({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \quad \quad （{ a }_{1}:初項\quad d:公差\quad n:項数）\) |
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| | 使用例： | | 使用例： |
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| | この一般式の導出方法を以下に述べる。これを知っておくと「等差数列のシグマの計算の仕組み」を知ることになる | | この一般式の導出方法を以下に述べる。これを知っておくと「等差数列のシグマの計算の仕組み」を知ることになる |
| - | //確率や積分の計算でこれを理解しているのと理解していないのでは将来必ず差が出てくる | + | |
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| | まず総和内の数列を確認する | | まず総和内の数列を確認する |
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| | **等比数列 [#ubc92857] | | **等比数列 [#ubc92857] |
| | + | 等比数列の総和は確率や積分、極限の計算等で非常に多く利用される |
| | + | したがってこれらを理解しているのと理解していないのでは将来問題を解決する際、必ず大きな差が出てくる |
| | + | 最重要項目と言っても過言ではないと思われる |
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| | &font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad \quad （{ a }_{ 1 }:初項\quad r:公比\quad n:項数）\)}; | | &font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad \quad （{ a }_{ 1 }:初項\quad r:公比\quad n:項数）\)}; |
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| | 使用例: | | 使用例: |
| - | \({ a }_{ n }=\left\{ 3,15,75,375,1875,\cdots 3\cdot 5^{ n-1 } \right\} \) | + | \({ a }_{ 1 }=3,r=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,15,75,375,1875,\cdots 3\cdot 5^{ n-1 } \right\} \) |
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| - | \(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は重要 | + | ***等比数列の総和 [#t2f28d84] |
| | + | 等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。なお、\(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は非常に重要 |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) |
| | + | |
| | + | シグマの中の要素をずらす事で一般式を利用できる。たとえば以下のように等比を一要素、外に出して一つずらす等、等比はこのようなテクニックが使える |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k }\quad =\quad r\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }r\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) |
| | + | |
| | + | 使用例： |
| | + | \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8\\ Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ もしくは\\ Sn=\frac { 3\times (1-{ 5 }^{ 8 }) }{ 1-5 } =292968\) |
| | + | |
| | + | \(n\)に対して極限を利用すると収束や拡散、振動などが発生する。特に収束は確率計算や積分で重要。以下に利用例を併記する |
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| | ***忘備録メモ [#n72fa6d7] | | ***忘備録メモ [#n72fa6d7] |
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| | + | |
| | + | **等比数列の総和 [#ac6625bb] |
| | + | |
| | + | 資料：虚数の情緒 P448～P449 ここでは別の解釈で同じ計算をやる |
| | + | |
| | + | まず、P448の等比数列の総和\({K}_{n}\)を求めることを考える |
| | + | \({ K }_{ n }=\left( 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 5 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \) |
| | + | この数列を等比数列の式で表すと |
| | + | \({ a }_{ n } = 1\cdot { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 }\) |
| | + | これをシグマの式で表すと |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n-1 } } \) |
| | + | となる |
| | + | |
| | + | 等比数列の総和の公式は以下になる |
| | + | \(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\) |
| | + | いきなり公式を使って計算しても良いがここでは、その構造と仕組みを確認しながら＜例示は理解の試金石＞であることを利用して計算の動きを追いかけてみる |
| | + | |
| | + | ＜TODO＞ |
| | + | |
| | + | |
| | + | 無限級数（等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \infty \)）の場合、\(-1<r<1\) であるなら収束が発生して総和の式が変わる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right) }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1) \) |
| | + | |
| | + | （補足：\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する） |
| | + | |
| | + | 等比数列の総和の仕組みをシグマで考えると... |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) |
| | + | |
| | + | つまり、公比ぶんシグマで数列全体をずらして元のシグマと引算すると式内に対消滅が連続で起きて初項と末項のみが残る状態になる |
| | + | あとは左辺の\((1-r)\)を右辺に移行するだけで恐ろしく式はシンプルになる |
| | + | |
| | + | |
| | + | |
| | + | **有理数を利用した関数の帰納的性質 [#z10c6636] |
| | + | |
| | + | 資料：「虚数の情緒P448～P449」 |
| | + | |
| | + | つまり、こういう事だと思う |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } } \quad =\quad \left\{ 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right\} \quad =\quad 1+\frac { 1 }{ 3 } \quad =\quad \frac { 4 }{ 3 } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \) |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 5 } \right) }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ { 5 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 5 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 5 }^{ n } } \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 4 } \) |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 6 } \right) }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 6 } +\frac { 1 }{ { 6 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 6^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 6 }^{ n } } \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 5 } \) |
| | + | \(\quad \cdots \) |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 1000 } \right) }^{ k } } \quad =\quad \left\{ \frac { 1 }{ 1000 } +\frac { 1 }{ { 1000 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 1000^{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 1000 }^{ n } } \right\} \quad =\quad \frac { 1 }{ 999 } \) |
| | + | |
| | + | これは実数が\(1\)とその他の小数の数字に分離できるという事を示唆している |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ n } \right) }^{ k } } =1+\frac { 1 }{ n-1 } \quad \quad \quad \quad \quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ n } \right) }^{ k } } =\frac { 1 }{ n-1 } \quad \) |
| | + | |
| | + | 例えば、こんな感じになる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle 3\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10001 } \right) }^{ k } } =3.0003\) |
| | + | |
| | + | この帰納的性質は指数や対数の計算において面白い効果が期待できそうな可能性がある |
| | + | 資料： [[初心者用 テイラー展開解説:http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/taylorexp/taylor1.htm]] |
| | | | |
| | **等比数列の検証 [#b77fdcc5] | | **等比数列の検証 [#b77fdcc5] |
| | } | | } |
| | }} | | }} |
| - | | |
| - | ***等差数列の和 [#xfa9ea99] | |
| - | #jsmath | |
| - | &font(150%){\(\displaystyle{ S }_{ n }=\frac { n\left( { a }+l \right) }{ 2 } \quad \quad \quad \quad \quad （n:総項数\quad { a }:初項\quad l:末項）\)&br;}; | |
| - | | |
| - | 尚、末項の \(l\) を \({ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \) とした時、\(\displaystyle{ S }_{ n }=\frac { n\left( { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \right) }{ 2 } \quad \rightarrow \quad { S }_{ n }=\frac { n }{ 2 } \left\{ 2{ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d \right\} \) となる | |
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| | ***等比数列の和 [#va36700c] | | ***等比数列の和 [#va36700c] |
![[PukiWiki]](http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
