[高校数学/等差数列、等比数列、総和（シグマ）のバックアップ差分(No.13)]

Unity学習帳2冊目高校数学 / 等差数列、等比数列、総和（シグマ）のバックアップ差分(No.13)

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--- 12: 2016-06-05 (日) 16:47:26 osinko
+++ 13: 2016-06-05 (日) 20:48:19 osinko
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 使用例:
 \({ a }_{ 1 }=3,r=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,15,75,375,1875,\cdots 3\cdot 5^{ n-1 } \right\}  \)
+***等比数列と対数との関係 [#d6eac638]
+等&font(Red){比};数列の一般項の対数をとると
+\(\log { { a }_{ n } } =\log { { a }_{ 1 } } +\left( n-1 \right) \log { r } \)
+となる
+例：
+\({ a }_{ n }=3\cdot { 5 }^{ n-1 }\\ { a }_{ 5 }=1875\\ \log _{ 10 }{ 1875 } =\log _{ 10 }{ 3 } +\left( 5-1 \right) \log _{ 10 }{ 5 } \quad \Leftrightarrow \quad { 10 }^{ 3.273001272 }\simeq { 10 }^{ 0.477121254 }\times { 10 }^{ 4\times 0.698970004 }\)
+数列 \( \log { { a }_{ n } } \) は初項 \(\log { { a }_{ 1 } } \)、公差 \(\log { r } \)の等&font(Red){差};数列になる
 ***等比数列の総和（等比級数もしくは幾何級数） [#t2f28d84]
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 シグマの中の要素をずらす事で一般式を利用できる。たとえば以下のように等比を一要素、外に出して一つずらす等、等比はこのようなテクニックが使える
-\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k }\quad =\quad r\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }r\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r }  \)
+\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }r\cdot  } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }r\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r }   \)
 使用例：
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 使用例２：
 等比数列とシグマを考える時、初項や等比、次数との関係をよく考えながら式を進める必要がある
-\(\displaystyle -2\pi +4{ \pi  }^{ 2 }-8{ \pi  }^{ 3 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi  } \right) ^{ k } } \quad =\quad { -2\pi  }\sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi  } \right) ^{ k-1 } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi  }\left( 1-(-2{ \pi  }^{ 3 }) \right)  }{ 1-{ (-2\pi ) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi  }\left( 1+8{ \pi  }^{ 3 } \right)  }{ 1+2{ \pi  } } \quad \simeq \quad -214.8549... \)
+\(\displaystyle -2\pi +4{ \pi  }^{ 2 }-8{ \pi  }^{ 3 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi  } \right) ^{ k } } \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( { -2\pi  } \right) \cdot \left( -2{ \pi  } \right) ^{ k-1 } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi  }\left( 1-{ (-2{ \pi  }) }^{ 3 } \right)  }{ 1-{ (-2\pi ) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi  }\left( 1+8{ \pi  }^{ 3 } \right)  }{ 1+2{ \pi  } } \quad \simeq \quad -214.8549... \)
 ＜補足＞
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 \(n\)に対して極限を利用すると収束や拡散、振動などが発生する。特に収束は確率計算や積分で重要。以下に利用例を併記する
+＜以下工事中TODO＞
 ***忘備録メモ [#n72fa6d7]
@@ Line 92: / Line 105: @@
 他例：
 \(E=\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ k{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k } } \\ E=\left\{ \frac { 1 }{ 2 } +{ 2\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+3{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }\cdots  \right\} \\ E{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }=\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ 2\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+{ 3\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }+4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 5 }+\cdots  \right\} \\ E-E{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }=\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }+\cdots  \right\} \\ E-E{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }=E\left( 1-\frac { 1 }{ 2 }  \right) =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k-1 } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k } \right)  }{ 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-0 \right)  }{ \frac { 1 }{ 2 }  } =1\\ E\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) =1\quad \Leftrightarrow \quad E=2 \)
 **等比数列の総和 [#ac6625bb]

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