13: 2016-06-05 (日) 20:48:19 osinko  |
14: 2016-06-06 (月) 22:51:48 osinko |
| | シグマは森と木の関係を見るような数学記号。「数列という無数の集合」＝全体（森）と「それを数学的帰納で総べる一般項」＝ディテール（木）との関係を一度に取り扱える。これは積分や確率計算などで多用される非常に重要な計算技術となっている | | シグマは森と木の関係を見るような数学記号。「数列という無数の集合」＝全体（森）と「それを数学的帰納で総べる一般項」＝ディテール（木）との関係を一度に取り扱える。これは積分や確率計算などで多用される非常に重要な計算技術となっている |
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| - | **等差数列 [#n19fddd7] | + | **等差数列（arithmetic progression） [#n19fddd7] |
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| | \({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \quad \quad （{ a }_{1}:初項\quad d:公差\quad n:項数）\) | | \({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \quad \quad （{ a }_{1}:初項\quad d:公差\quad n:項数）\) |
| | \({ a }_{ 1 }=3,d=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,8,13,18,23,\cdots 3+(n-1)5 \right\} \) | | \({ a }_{ 1 }=3,d=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,8,13,18,23,\cdots 3+(n-1)5 \right\} \) |
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| - | ***等差数列の総和 [#j14a967d] | + | ***等差数列の総和（等差級数 arithmetic series） [#j14a967d] |
| | + | &font(Red){一定の法則にしたがって変化する数を一定の順に並べた数列の和の事を「級数」と呼ぶ。};無限に並べた和を「無限級数」と呼ぶ |
| | + | 従って「等差数列の総和」は「等差級数」とも呼べる |
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| - | 等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。総和は\(Sn\) (おそらくSumNumberの略)で表される事が多い | + | 等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式（公式）となっている。総和は\(Sn\) (おそらくSumNumberの略)で表される事が多い |
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| | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+\left( k-1 \right) d } \quad =\quad \frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \) | | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+\left( k-1 \right) d } \quad =\quad \frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \) |
| | \(\displaystyle { a }_{ 1 }=3,d=5,n=8\\ Sn=3+8+13+18+23+28+33+38=164\\ もしくは\\ Sn=\frac { 8 }{ 2 } \left( 2\times 3+(8-1)\times 5 \right) =164\) | | \(\displaystyle { a }_{ 1 }=3,d=5,n=8\\ Sn=3+8+13+18+23+28+33+38=164\\ もしくは\\ Sn=\frac { 8 }{ 2 } \left( 2\times 3+(8-1)\times 5 \right) =164\) |
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| - | ***等差数列の総和の一般項の導出 [#e7fb8512] | + | ***等差数列の総和の公式の導出 [#e7fb8512] |
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| | この一般式の導出方法を以下に述べる。これを知っておくと「等差数列のシグマの計算の仕組み」を知ることになる | | この一般式の導出方法を以下に述べる。これを知っておくと「等差数列のシグマの計算の仕組み」を知ることになる |
| | \( 両辺を2で割って、Sn=\frac { n }{ 2 } \left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad となる\) | | \( 両辺を2で割って、Sn=\frac { n }{ 2 } \left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad となる\) |
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| - | **等比数列 [#ubc92857] | + | **等比数列（geometric progression） [#ubc92857] |
| - | 等比数列の総和は確率や積分、極限の計算等で非常に多く利用される | + | 等比数列は幾何数列と呼ばれることもある。英語では「geometric progression」 |
| - | したがってこれらを理解しているのと理解していないのでは将来問題を解決する際、必ず大きな差が出てくる | + | 欧米では目的や応用を意識した名前を使用している点で幾何数列と言った方が分かりやすい気もする |
| - | 最重要項目と言っても過言ではないと思われる | + | |
| | + | 等比数列の総和は確率や積分、極限の計算等で非常に多く利用される。したがってこれらを理解しているのと理解していないのでは将来問題を解決する際、必ず大きな差が出てくる。古代ギリシャの幾何学の出発点は、おそらくこの幾何数列の研究から端を発していると個人的に感じている。その意味で等比数列を学習することは数学的にも最重要項目と言っても過言ではないと思う |
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| | &font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad \quad （{ a }_{ 1 }:初項\quad r:公比\quad n:項数）\)}; | | &font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad \quad （{ a }_{ 1 }:初項\quad r:公比\quad n:項数）\)}; |
| | 数列 \( \log { { a }_{ n } } \) は初項 \(\log { { a }_{ 1 } } \)、公差 \(\log { r } \)の等&font(Red){差};数列になる | | 数列 \( \log { { a }_{ n } } \) は初項 \(\log { { a }_{ 1 } } \)、公差 \(\log { r } \)の等&font(Red){差};数列になる |
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| - | ***等比数列の総和（等比級数もしくは幾何級数） [#t2f28d84] | + | ***等比数列の総和（等比級数、幾何級数 geometric series） [#t2f28d84] |
| - | 等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。なお、\(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は非常に重要 | + | 等比数列の総和は等比級数、幾何級数と呼ぶ事もある |
| | + | （確率の期待値の計算内に幾何分布があり、それが幾何級数の計算と同一な点で欧米の方がより機能的な名前付けをしていると思う） |
| | + | 等比数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。なお、\(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は非常に重要で、その場合、無限級数と呼ばれる |
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| | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) | | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \) |
| | ＜補足＞ | | ＜補足＞ |
| | 例えば \({ -5 }^{ 0 }=-1\) となるが \( { \left( -5 \right) }^{ 0 }=1 \) になることに注意 | | 例えば \({ -5 }^{ 0 }=-1\) となるが \( { \left( -5 \right) }^{ 0 }=1 \) になることに注意 |
| | + | |
| | + | ***等比数列の総和の公式の導出 [#z4ff4d5d] |
| | + | シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して数列同士を打ち消し合い式をシンプルにする |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) |
| | + | |
| | + | これにより初項と末項のみが残る状態になり、左辺の\((1-r)\)を右辺に移行するだけで式はシンプルになる |
| | + | |
| | + | ***無限級数（infinite geometric series） [#e78f345c] |
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| | \(n\)に対して極限を利用すると収束や拡散、振動などが発生する。特に収束は確率計算や積分で重要。以下に利用例を併記する | | \(n\)に対して極限を利用すると収束や拡散、振動などが発生する。特に収束は確率計算や積分で重要。以下に利用例を併記する |
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| | （補足：\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する） | | （補足：\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する） |
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| - | 等比数列の総和の仕組みをシグマで考えると... | |
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| - | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \) | |
| - | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) | |
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| - | つまり、公比ぶんシグマで数列全体をずらして元のシグマと引算すると式内に対消滅が連続で起きて初項と末項のみが残る状態になる | |
| - | あとは左辺の\((1-r)\)を右辺に移行するだけで恐ろしく式はシンプルになる | |
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| | **有理数を利用した関数の帰納的性質 [#z10c6636] | | **有理数を利用した関数の帰納的性質 [#z10c6636] |
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