[高校数学/等差数列、等比数列、総和（シグマ）のバックアップ差分(No.16)]

Unity学習帳2冊目高校数学 / 等差数列、等比数列、総和（シグマ）のバックアップ差分(No.16)

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--- 15: 2016-06-07 (火) 02:00:06 osinko
+++ 16: 2016-06-08 (水) 17:40:43 osinko
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 ***等比数列の総和（等比級数、幾何級数　geometric series） [#t2f28d84]
 等比数列の総和は等比級数、幾何級数とも呼ばれる。等比数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。なお、\(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は非常に重要で、その場合、無限級数と呼ばれる
 \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r }  \)
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 シグマの中の要素をずらす事で一般式を利用できる。たとえば以下のように等比を一要素、外に出して一つずらす等、等比はこのようなテクニックが使える
-\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }r\cdot  } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }r\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r }   \)
+\(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 } } { r }^{ k }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }r\cdot  } { r }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }r\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r }\quad =\quad \frac { { a }_{ 1 }\left( r-{ r }^{ n+1 } \right)  }{ 1-r }\)
+<より一般的な公式>
+\(k=m\)である場合は以下になる。級数内部を数列的に眺めた時、等比部分が０乗から始まっているなら、\({a}_{1}({r}^{0}-{r}^{n+0})={a}_{1}(1-{r}^{n+0})\)、１乗以上から始まっている場合なら、\({a}_{1}({r}^{m}-{r}^{n+1})\)となる
+（公式を丸憶えせず導出から憶えた方が良い。級数内部の要素が一つずれ込む理由もわかる
+&font(Red){\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }_{ 1 }r^{ k } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right)  }{ 1-r } \)&br;};
 使用例：
 \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8\\ Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ もしくは\\ Sn=\frac { 3\times (1-{ 5 }^{ 8 }) }{ 1-5 } =292968\)

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