16: 2016-06-08 (水) 17:40:43 osinko  |
17: 2016-06-08 (水) 18:31:07 osinko |
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| | <より一般的な公式> | | <より一般的な公式> |
| - | \(k=m\)である場合は以下になる。級数内部を数列的に眺めた時、等比部分が０乗から始まっているなら、\({a}_{1}({r}^{0}-{r}^{n+0})={a}_{1}(1-{r}^{n+0})\)、１乗以上から始まっている場合なら、\({a}_{1}({r}^{m}-{r}^{n+1})\)となる | + | \(k=m\)である場合は以下になる。級数内部を数列的に眺めた時、等比部分が０乗から始まっているなら、\({a}_{1}({r}^{0}-{r}^{n+0})={a}_{1}(1-{r}^{n})\)、１乗以上から始まっている場合なら、\({a}_{1}({r}^{m}-{r}^{n+1})\)となる |
| - | （公式を丸憶えせず導出から憶えた方が良い。級数内部の要素が一つずれ込む理由もわかる | + | （等比の指数部計算が0乗から始まって欲しい状況がよくあるからこうなっている。公式を丸憶えせず導出から憶えた方が良い（少し先に書いてる）。級数内部の要素が一つずれ込む理由もわかる） |
| | + | |
| | + | &font(Red){\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }_{ 1 }r^{ k } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r } \)}; |
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| - | &font(Red){\(\displaystyle \sum _{ k=m }^{ n }{ { a }_{ 1 }r^{ k } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ m }-{ r }^{ n+1 } \right) }{ 1-r } \)&br;}; | |
| | 使用例： | | 使用例： |
| - | \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8\\ Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ もしくは\\ Sn=\frac { 3\times (1-{ 5 }^{ 8 }) }{ 1-5 } =292968\) | + | \({ a }_{ 1 }=3,r=5,n=8 \\ この等比級数の等比部分は0乗から始まっている \\ Sn=3+15+75+375+1875+9375+46875+234375=292968\\ もしくは\\ Sn=\frac { 3\times (1-{ 5 }^{ 8 }) }{ 1-5 } =292968\) |
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| | 使用例２： | | 使用例２： |
| | 等比数列とシグマを考える時、初項や等比、次数との関係をよく考えながら式を進める必要がある | | 等比数列とシグマを考える時、初項や等比、次数との関係をよく考えながら式を進める必要がある |
| - | \(\displaystyle -2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \right) ^{ k } } \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( { -2\pi } \right) \cdot \left( -2{ \pi } \right) ^{ k-1 } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }\left( 1-{ (-2{ \pi }) }^{ 3 } \right) }{ 1-{ (-2\pi ) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }\left( 1+8{ \pi }^{ 3 } \right) }{ 1+2{ \pi } } \quad \simeq \quad -214.8549... \) | + | この等比級数の等比部分は\(1\)乗から始まっている |
| | + | \(\displaystyle -2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \right) ^{ k } } \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( { -2\pi } \right) \cdot \left( -2{ \pi } \right) ^{ k-1 } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }\left( 1-{ (-2{ \pi }) }^{ 3 } \right) }{ 1-{ (-2\pi ) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }\left( 1+8{ \pi }^{ 3 } \right) }{ 1+2{ \pi } } \quad \simeq \quad -214.8549...\\ もしくは、等比部分が1乗から始まっているので\\ \displaystyle -2\pi +4{ \pi }^{ 2 }-8{ \pi }^{ 3 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ 3 }{ \left( -2{ \pi } \right) ^{ k } } \quad =\quad \frac { 1\cdot ({ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 1 }-{ \left( -2{ \pi } \right) }^{ 3+1 }) }{ 1-{ \left( -2{ \pi } \right) } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }-{ (-2{ \pi }) }^{ 4 } }{ 1+2{ \pi } } \quad =\quad \frac { -2{ \pi }-{ 16{ \pi } }^{ 4 } }{ 1+2{ \pi } } \quad \simeq \quad -214.8549...\) |
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| | ＜補足＞ | | ＜補足＞ |
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| | ***等比数列の総和の公式の導出 [#z4ff4d5d] | | ***等比数列の総和の公式の導出 [#z4ff4d5d] |
| - | シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して数列同士を打ち消し合い式をシンプルにする | + | 非常に重要な考え方の一つ |
| | + | シグマの等比を一つずらしたものと元のものを引き算して&font(Red){数列同士を打ち消し合い式をシンプルにする}; |
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| | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) | | \(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \) |
| | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) | | \(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-{ r } } \quad \) |
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| - | これにより初項と末項のみが残る状態になり、左辺の\((1-r)\)を右辺に移行するだけで式はシンプルになる | + | これにより&font(Red){初項と末項のみが残る状態になり、両辺を\((1-r)\)で割るだけで式はシンプルになる}; |
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| | ***無限級数（infinite geometric series） [#e78f345c] | | ***無限級数（infinite geometric series） [#e78f345c] |
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