[高校数学/等差数列、等比数列、総和（シグマ）のバックアップ差分(No.8)]

Unity学習帳2冊目高校数学 / 等差数列、等比数列、総和（シグマ）のバックアップ差分(No.8)

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--- 7: 2015-12-06 (日) 21:52:42 osinko
+++ 8: 2016-04-08 (金) 00:30:35 osinko
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 TODO
-***等比数列 [#h89d948d]
-\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad 公比数列:{ a }_{ n }\quad ,\quad 初項:{ a }_{ 1 }\quad ,\quad 公比:r\quad ,\quad 項数:n\)
-\(\displaystyle { S }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right)  }{ { r }-1 } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-{ r } } \quad \quad \quad 等比数列の総和:{ S }_{ n }\quad (r≠1)\)
-無限級数（等比数列の無限項の総和、つまり\(n\rightarrow \infty \)）の場合、\(-1<r<1\)　であるなら収束が発生して総和の式が変わる
-\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } }  } =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right)  }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1) \)
-（補足：\( −1<r<1 \) の時、\(\displaystyle { \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { r }^{ n }= } 0 }\)の収束が発生する）
-等比数列の総和の仕組みをシグマで考えると...
-\(\displaystyle (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k } } \)
-\(\displaystyle  \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\left\{ { a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } \right\} -\left\{ { a }_{ 1 }r+{ a }_{ 1 }{ r }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n } \right\} \)
-\(\displaystyle \rightarrow (1-r)\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } ={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ r }^{ n }={ a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) \)
-\(\displaystyle \rightarrow \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-{ r } } \quad \)
-つまり、公比ぶんシグマで数列全体をずらして元のシグマと引算すると式内に対消滅が連続で起きて初項と末項のみが残る状態になる
-あとは左辺の\((1-r)\)を右辺に移行するだけで恐ろしく式はシンプルになる
 ***シグマ記号の意味 [#p1ec81fd]

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