8: 2016-04-08 (金) 00:30:35 osinko  |
9: 2016-06-03 (金) 21:28:14 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| - | ***等差数列 [#n19fddd7] | + | ＜シグマ記号の意味＞ |
| | + | シグマは森と木の関係を見るような数学記号。「数列という無数の集合」＝全体（森）と「それを数学的帰納で総べる一般項」＝ディテール（木）との関係を一度に取り扱える。これは積分や確率計算などで多用される非常に重要な計算技術となっている |
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| - | &font(150%){\({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \quad \quad （{ a }_{1}:初項\quad d:公差\quad n:項数）\)&br;}; | + | **等差数列 [#n19fddd7] |
| | + | |
| | + | &font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{1}+\left( n-1 \right) d\quad \quad \quad \quad （{ a }_{1}:初項\quad d:公差\quad n:項数）\)&br;}; |
| | + | |
| | + | 使用例： |
| | + | \({ a }_{ 1 }=3,d=5\\ { a }_{ n }=\left\{ 3,8,13,18,23,\cdots 3+(n-1)5 \right\} \) |
| | | | |
| | ***等差数列の総和 [#j14a967d] | | ***等差数列の総和 [#j14a967d] |
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| - | &font(150%){\(\displaystyle { S }_{ n }\quad =\quad \frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \quad \quad \quad ( { S }_{ n }:等差数列の総和)\)}; | + | 等差数列の総和をシグマ記号で表すと以下になる。最右辺は一般化された式となっている。総和は\(Sn\) (おそらくSumNumberの略)で表される事が多い |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+\left( k-1 \right) d } \quad =\quad \frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \) |
| | + | |
| | + | 使用例： |
| | + | \(\displaystyle { a }_{ 1 }=3,d=5,n=8\\ Sn=3+8+13+18+23+28+33+38=164\\ もしくは\\ Sn=\frac { 8 }{ 2 } \left( 2\times 3+(8-1)\times 5 \right) =164\) |
| | + | |
| | + | ***等差数列の総和の一般項の導出 [#e7fb8512] |
| | + | |
| | + | この一般式の導出方法を以下に述べる。これを知っておくと「等差数列のシグマの計算の仕組み」を知ることになる |
| | + | //確率や積分の計算でこれを理解しているのと理解していないのでは将来必ず差が出てくる |
| | + | |
| | + | まず総和内の数列を確認する |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle Sn\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }+\left( k-1 \right) d } \\ \quad =\quad { a }_{ 1 }+\left( { a }_{ 1 }+d \right) +\left( { a }_{ 1 }+2d \right) +\cdots +\left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \) |
| | + | |
| | + | \(Sn\)の並びを逆にする |
| | + | |
| | + | \( \quad =\quad { \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) +\left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) + }\cdots +\left( { a }_{ 1 }+2d \right) +\left( { a }_{ 1 }+d \right) +{ a }_{ 1 }\) |
| | + | |
| | + | 普通の並びの\(Sn\)と逆並びにした\(Sn\)を足し合わせる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \begin{matrix} { a }_{ 1 } & \left( { a }_{ 1 }+d \right) & \left( { a }_{ 1 }+2d \right) \\ + & + & + \\ \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & \quad \left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) & \quad \left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) \\ \parallel & \parallel & \parallel \\ \left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) + \end{matrix}\begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{matrix}\begin{matrix} \left( { a }_{ 1 }+(n-3)d \right) & \left( { a }_{ 1 }+(n-2)d \right) & \left( { a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \\ + & + & + \\ \left( { a }_{ 1 }+2d \right) & \quad \left( { a }_{ 1 }+d \right) & \quad { a }_{ 1 } \\ \parallel & \parallel & \parallel \\ +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) & +\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \end{matrix}\begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \quad \quad \quad \quad \longleftarrow ここはn項ある \end{matrix} \) |
| | + | |
| | + | \(従って、2Sn=n\left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad \) |
| | + | |
| | + | \( 両辺を2で割って、Sn=\frac { n }{ 2 } \left( { 2a }_{ 1 }+(n-1)d \right) \quad となる\) |
| | + | |
| | + | **等比数列 [#ubc92857] |
| | + | |
| | + | &font(120%){\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 }\quad \quad \quad \quad （{ a }_{ 1 }:初項\quad r:公比\quad n:項数）\)}; |
| | + | |
| | + | 使用例: |
| | + | \({ a }_{ n }=\left\{ 3,15,75,375,1875,\cdots 3\cdot 5^{ n-1 } \right\} \) |
| | + | |
| | + | \(n\)を\(\infty \)にすると極限が計算できる点は重要 |
| | + | |
| | + | ***忘備録メモ [#n72fa6d7] |
| | + | |
| | + | シグマの計算 |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle E\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ pk{ \left( 1-p \right) }^{ k } } \quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ k{ \left( 1-p \right) }^{ k } } \\ \\ 数列で考える\\ \\ E=\left\{ p(1-p)+2p{ (1-p) }^{ 2 }+3p{ (1-p) }^{ 3 }+\cdots \right\} \\ \\ E(1-p)=\left\{ p{ (1-p) }^{ 2 }+2p{ (1-p) }^{ 3 }+3p{ (1-p) }^{ 4 }+\cdots \right\} \\ \\ 引き算して数列を整理。kを消す\\ \\ E-E(1-p)=E-E+pE=pE\\ pE=\left\{ p(1-p)+p{ (1-p) }^{ 2 }+p{ (1-p) }^{ 3 }+\cdots \right\} \quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }^{ k } } \\ pE\quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }^{ k } } \quad =\quad p\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }\cdot { \left( 1-p \right) }^{ k-1 } } \\ \\ 等比数列の公式\cdots \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ n-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } より\\ \\ E\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( 1-p \right) }\cdot { \left( 1-p \right) }^{ k-1 } } \quad =\quad \frac { \left( 1-p \right) \left( 1-\overbrace { \left( 1-p \right) ^{ n } }^{ 0\le (1-p)\le 1より無限級数の収束で0になる } \right) }{ 1-(1-p) } \quad =\quad \frac { \left( 1-p \right) \left( 1-0 \right) }{ 1-1+p } \quad =\quad \frac { 1-p }{ p } \) |
| | + | |
| | + | 順番 |
| | + | ①数列や樹形図より期待値の式を作る |
| | + | ②期待値のシグマを解く |
| | + | |
| | + | -等比をずらして引き算するとシグマのkが消せる |
| | + | -kを消した数列から、もう一度シグマを組み、それをうまく変形して等比数列の公式の型に誘導し解く |
| | + | -等比数列公式内の等比rが0以上１以下の時、無限級数の収束。極限の０収束が使える。確率の計算では、ほぼこのテクニックが使える |
| | + | |
| | + | 他例： |
| | + | \(E=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ k{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k } } \\ E=\left\{ \frac { 1 }{ 2 } +{ 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+3{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 3 }+4{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 4 }\cdots \right\} \\ E{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }=\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 3 }+{ 3\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 4 }+4{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 5 }+\cdots \right\} \\ E-E{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }=\left\{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 4 }+\cdots \right\} \\ E-E{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }=E\left( 1-\frac { 1 }{ 2 } \right) =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k-1 } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k } \right) }{ 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-0 \right) }{ \frac { 1 }{ 2 } } =1\\ E\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =1\quad \Leftrightarrow \quad E=2 \) |
| | + | |
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| - | 公差が１なら\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 } \) という単純化した式を使うのも良い（初項:\({ a }_{ 1 }\)、末項:\(l\)） | |
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| - | ***等差数列の総和の計算例 [#vddb46d8] | + | **等比数列の検証 [#b77fdcc5] |
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| - | \(1\)から\(10\)までの総和 | + | 微積分で良く使う有用な計算技法をいくつかピックアップ |
| - | 初項:\(1\)、末項:\(10\)、公差:\(1\)、項数:\(10\)。 式は\(\frac { n({ a }_{ 1 }+l) }{ 2 }\) より \(\frac { 10\cdot (1+10) }{ 2 } =55\) となる | + | |
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| - | 等差数列、\({ a }_{ n }=3+(n-1)\cdot 5\) の15項までの総和は \(\frac { n }{ 2 } \left( 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right)\) より \(\frac { 15 }{ 2 } \left( 2\cdot 3+(15-1)\cdot 5 \right) =570\quad \)となる | + | ＜等比数列でよくみられる計算原理＞ |
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| - | 等差数列の総和の仕組みをシグマで考えると... | + | \(\displaystyle \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 3 } \) |
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| - | \(\displaystyle \quad 2\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ n } } =n\left\{ 2{ a }_{ 1 }+(n-1)d \right\} \) となる。これを幾何的に図にすると以下になる。長方形の計算を利用している | + | \(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 3\times 1 }{ 3\times 4 } +\frac { 1 }{ 3\times 4 } =\frac { 4 }{ 12 } =\frac { 1 }{ 3 } \) |
| - | &ref(sigma1.png); | + | |
| | | | |
| - | 途中の項数から始まる総和を求めたい場合、シグマ同士の引き算を行う | + | \(\displaystyle \rightarrow \quad 1\times \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3\times 4 } =\frac { 1 }{ 3 } \quad \rightarrow \quad 1\times \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 3 } \) |
| | | | |
| - | TODO | + | \(\displaystyle \rightarrow \quad \frac { 1 }{ 4 } \left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \right) =\frac { 1 }{ 3 } \\ \) |
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| - | ***シグマ記号の意味 [#p1ec81fd] | + | この最後の式の"形"はよくみかける |
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| - | シグマは森と木の関係を見るような数学記号と言える。つまり「数列という無数の集合」＝（森）と「それを総べる一般項」＝木 | + | ==TODO== |
| - | 全体とディテールの関係を一度に取り扱う為の特殊な数学記号といえる。等比、等差の最後の式の例にみられるように数列の全体の操作から | + | |
| - | 一般項を導く等、非常に面白い操作が行える | + | |
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