[微積分と物理/単位計算のバックアップ差分(No.7)]

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--- 6: 2015-10-18 (日) 23:16:02 osinko
+++ 7: 2015-10-20 (火) 04:21:58 osinko
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 ***ネイピア数 [#acda8eab]
-\(e=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } } \simeq 2.71828....\)
+\(\displaystyle e=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } } \simeq 2.71828....\)
 **アキレスと亀 [#v5226cd2]
+資料：[[ゼノンのパラドックス:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9]]
+あるところにアキレスと亀がいて2人は徒競走をすることとなった。アキレスの速度が\(a(km/h)\)。亀の速度が\(b(km/h)\)。\(a>b\)であり、アキレスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンディキャップをもらって、\(c (km)\)先に進んだ地点からスタートする事となった
+①競争開始、アキレスが亀がいた位置まで移動する時間
+\(\displaystyle c\quad (km)\quad \times \quad \frac { 1 }{ a } \quad \left( \frac { h }{ km }  \right) \quad =\quad \frac { c }{ a } \quad (h)\)
+有限個の和を前提とした計算の為、有理数の体を守るように計算を加算、乗算で統一する（減算、除算は利用しない。その方が計算の運用がやり易い）。アキレスの速度は実数の切断定義より有理数の集合である事が解っているので分数の比を逆にして除算を表現し逆数とした。速度を逆数にした事で単位も分子分母がひっくり返っている
+②その間に亀が動く距離
+\(\displaystyle \frac { c }{ a } \quad (h)\quad \times \quad b\quad \left( \frac { km }{ h }  \right) \quad =\quad \frac { c }{ a } \cdot b\quad (km)\)
+③亀の移動先にアキレスが追い付く時間
+\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot b\quad (km)\quad \times \quad \frac { 1 }{ a } \quad \left( \frac { h }{ km }  \right) \quad =\quad \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \quad (h)\)
+④その間に亀が動く距離
+\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \quad (h)\quad \times \quad b\quad \left( \frac { km }{ h }  \right) \quad =\quad \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \cdot b\quad (km)\)
+⑤アキレスが④に追い付く時間
+\(\displaystyle \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \cdot b\quad (km)\quad \quad \times \quad \frac { 1 }{ a } \quad \left( \frac { h }{ km }  \right) \quad =\quad \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \quad (h)\)
+以後、②～③、④～⑤、の様に同じ計算を繰り返す事となる。この計算を無限回数だけ試行する事を考えると
+アキレスは亀に追いついても亀はさらにその先にいることになり結果、永遠にアキレスは亀に追いつけない事になる
+しかし、ここで無限個の和、無限級数の計算を適用すると、このパラドックスは解消される
+つまりシグマで考える。アキレスが亀に追いつく時間の計算は
+\(\displaystyle \frac { c }{ a } +\left( \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a }  \right) +\left( \frac { c }{ a } \cdot \frac { b }{ a } \cdot \frac { b }{ a }  \right) +\cdots \quad \quad (h)\)
+のような計算となる。この「アキレスが亀に追いつく時間」はシグマで表すと
+\(\displaystyle \frac { c }{ a } \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ k-1 } } \quad \quad (h)\)
+になる。アキレスは亀よりも走るのが早い。つまり\(a>b\)。従って\(\frac { b }{ a } \)は１未満になる
+これは等比数列の総和で考えた時、無限級数の計算の条件
+\(\displaystyle  \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n }= } \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } }  } =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ 1 }{ r }^{ k-1 } } =\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-0 \right)  }{ 1-{ r } } =\frac { { a }_{ 1 } }{ 1-{ r } } \quad \quad (-1<r<1)\)
+を満たしている。これにより収束が発生し
+***方程式との合致 [#yeddbdc5]
+これは中学までの計算で
+\(\begin{cases} bt+c\quad \cdots 亀の進んだ距離 \\ at+0\quad \cdots アキレスの進んだ距離 \end{cases}\)
+この連立方程式を\(t\)について解いて
+\(at=bt+c\quad \rightarrow \quad at-bt=c\quad \rightarrow \quad t(a-b)=c\quad \rightarrow \quad t=\frac { c }{ a-b } \)
+となり、計算結果が無限級数の計算結果と合致する

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