2: 2015-12-03 (木) 11:26:17 osinko  |
3: 2015-12-03 (木) 16:38:02 osinko |
| | **\({a}_{n+1}=p{a}_{n}+q\)型 [#af3025f7] | | **\({a}_{n+1}=p{a}_{n}+q\)型 [#af3025f7] |
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| | + | 要点を最初にまとめて書いてしまうとこうなる |
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| - | -\({a}_{n+1}=p{a}_{n}+q\)の形式をした二項間漸化式は等比数列、指数関数グラフとなる | + | +\({a}_{n+1}=p{a}_{n}+q\)の形式をした二項間漸化式は等比数列、指数関数グラフとなる |
| | + | +\(p{a}_{n}\)部分から純粋な切片が無い公比、指数関数の底、つまり一般解が取り出せる |
| | + | +特性方程式から導いた特殊解から一般解の切片が取り出せる |
| | + | +特殊解は一般解（指数関数の底）に対し初項位置と\(y\)の切片に対し適用する。これにより一般解のグラフは形を保ったまま位置がズレる&br;結果、漸化式の数列が生み出す指数関数グラフと新しく作った一般化した式のグラフは完全に重なる事となる&br;（少し特殊なやり方で式を変形していると言える） |
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| - | -\(p{a}_{n}\)部分から純粋な切片が無い公比、指数関数の底、つまり一般解が取り出せる | + | ちょっと解り難いので順番に一つずつ考えて行く。まず1.から確認してみる。一番単純なケースとして |
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| - | -特性方程式から導いた特殊解から一般解の切片が取り出せる | + | 初項 \({a}_{1}=1\) |
| | + | 漸化式 \({a}_{n+1}=2{a}_{n}+0\) |
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| - | -特殊解は一般解（指数関数の底）に対し初項位置と\(y\)の切片に対し適用する。これにより一般解のグラフの位置がズレる&br;結果、漸化式の数列が生み出す指数関数グラフと新しく作った一般化した式のグラフは完全に重なる事となる&br;（少し特殊なやり方で式を変形していると言える） | + | という式を考えてみる。この数列は \({a}_{n}=\left\{ 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,\cdots \right\} \) となる。グラフは下図のようになる |
| | + | |
| | + | [[Wolframで計算:http://www.wolframalpha.com/input/?i=a_1%3D1%2Ca_n%2B1%3D2a_n]]（この場合グラフは対数グラフで表示されています） |
| | + | |
| | + | [[基礎/PocketCASのメモ]]のリンクにて漸化式のグラフ作成を説明しています |
| | + | |
| | + | この数列とグラフは等比数列の一般項の公式、\({ a }_{ n }={a}_{1}{ r }^{ n-1 }\)より\({ a }_{ n }=1{ \cdot 2 }^{ n-1 }={ 2 }^{ n-1 }\)と合致します |
| | + | \({a}_{n}\)の数列と混同してわかりにくいので、こちらの式は名前を変えて\({b}_{n}={2}^{n-1}\)としておきます。これを一般解と呼びます |
| | + | この\({b}_{n}\)の数列も \({b}_{n}=\left\{ 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,\cdots \right\} \) となります |
| | + | |
| | + | この\({a}_{n}\)と\({b}_{n}\)のグラフは同時に表示すると完全に重なります。つまり間接的に式の変形が出来ているという事になります |
| | + | この「型」の漸化式であれば、このような変換が可能であるという事がグラフ図からわかっている、という事です |
| | + | //この様な考え方を「ヒューリスティクス」といいます |
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