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--- 1: 2015-11-04 (水) 22:26:19 osinko
+++ 現: 2015-11-04 (水) 22:57:43 osinko
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 TITLE:実数の定義2
 #jsmath
-***メモ [#g1ddf4b8]
+**補足 [#g1ddf4b8]
+自然数の極限の理解を実数全体に応用する。例えば
-境界が有理数の場合。0.4の切断
+***境界が有理数の場合。\(\frac { 4 }{ 10 } \)の切断 [#me06c2f3]
 \(0.3999...=0.3+0.0999...\\ =0.3+9\left( 0.01+0.001+0.0001+\cdots  \right) \\ =0.3+9\left( { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 4 }+\cdots  \right) \)
-\(\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n }= } 9\left( { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 4 }+\cdots { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right) =9\sum _{ k=3 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ k-1 } } \\ =9\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 10 }  } =9\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-0 \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 10 }  } =\frac { \frac { 9 }{ 100 }  }{ \frac { 9 }{ 10 }  } =\frac { 90 }{ 900 } =\frac { 1 }{ 10 } =0.1\)
+\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n }= } 9\left( { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ 4 }+\cdots { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right) =9\sum _{ k=3 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ k-1 } } \)
+\(\displaystyle  =9\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 10 }  } =9\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-0 \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 10 }  } =\frac { \frac { 9 }{ 100 }  }{ \frac { 9 }{ 10 }  } =\frac { 90 }{ 900 } =\frac { 1 }{ 10 } =0.1\)
-\(=0.3+\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n }= } 0.3+0.1=0.4\)
+\(\displaystyle =0.3+\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n }= } 0.3+0.1=0.4\)
-\(\therefore 切断\left( \frac { 3 }{ 10 } +9\sum _{ k=3 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ k-1 } } \quad ,\quad \frac { 4 }{ 10 }  \right) \)
+\(\displaystyle したがって切断\left( \frac { 3 }{ 10 } +9\sum _{ k=3 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ k-1 } } \quad ,\quad \frac { 4 }{ 10 }  \right) \quad =\quad \left( 0.3\dot { 9 } 999...\quad ,\quad \frac { 4 }{ 10 }  \right)   \)
+***境界が有理数の場合。\(\frac { 1 }{ 3 } \)の切断 [#sa4b3f01]
+\(\displaystyle \left( \frac { 1 }{ 3 } \quad ,\quad \frac { 1 }{ 3 }  \right) \quad =\quad \left( 3\sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ k-1 } } \quad ,\quad \frac { 1 }{ 3 }  \right) \quad =\quad \left( 0.\dot { 3 } 3333...\quad ,\quad \frac { 1 }{ 3 }  \right) \)
+\(\displaystyle 3\sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 3\times \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 }  \right)  }^{ n } \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 10 }  }  } =\frac { \frac { 3 }{ 10 }  }{ \frac { 9 }{ 10 }  } =\frac { 3 }{ 10 } \times \frac { 10 }{ 9 } =\frac { 30 }{ 90 } =\frac { 1 }{ 3 } \)

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微積分と物理/実数の定義2 のバックアップ差分(No. All)
- 1: 2015-11-04 (水) 22:26:19 osinko
- 現: 2015-11-04 (水) 22:57:43 osinko

微積分と物理​/実数の定義2 の変更点

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