微積分と物理​/実数の定義2

補足

自然数の極限の理解を実数全体に応用する。例えば

境界が有理数の場合。\(\frac { 4 }{ 10 } \)の切断

\(0.3999...=0.3+0.0999...\\ =0.3+9\left( 0.01+0.001+0.0001+\cdots \right) \\ =0.3+9\left( { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 4 }+\cdots \right) \)

\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } 9\left( { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 4 }+\cdots { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right) =9\sum _{ k=3 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ k-1 } } \)
\(\displaystyle =9\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 10 } } =9\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-0 \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 10 } } =\frac { \frac { 9 }{ 100 } }{ \frac { 9 }{ 10 } } =\frac { 90 }{ 900 } =\frac { 1 }{ 10 } =0.1\)

\(\displaystyle =0.3+\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { S }_{ n }= } 0.3+0.1=0.4\)

\(\displaystyle したがって切断\left( \frac { 3 }{ 10 } +9\sum _{ k=3 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ k-1 } } \quad ,\quad \frac { 4 }{ 10 } \right) \quad =\quad \left( 0.3\dot { 9 } 999...\quad ,\quad \frac { 4 }{ 10 } \right) \)

境界が有理数の場合。\(\frac { 1 }{ 3 } \)の切断

\(\displaystyle \left( \frac { 1 }{ 3 } \quad ,\quad \frac { 1 }{ 3 } \right) \quad =\quad \left( 3\sum _{ k=2 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ k-1 } } \quad ,\quad \frac { 1 }{ 3 } \right) \quad =\quad \left( 0.\dot { 3 } 3333...\quad ,\quad \frac { 1 }{ 3 } \right) \)

\(\displaystyle 3\sum _{ k=2 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ 3\times \frac { \frac { 1 }{ 10 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ n } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 10 } } } =\frac { \frac { 3 }{ 10 } }{ \frac { 9 }{ 10 } } =\frac { 3 }{ 10 } \times \frac { 10 }{ 9 } =\frac { 30 }{ 90 } =\frac { 1 }{ 3 } \)