4: 2016-01-30 (土) 03:29:49 osinko  |
現: 2016-05-25 (水) 21:32:47 osinko |
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| | に分ける。これは二項定理の | | に分ける。これは二項定理の |
| - | \({ \left( H+T \right) }^{ 3 }\quad =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ H }^{ 3 }T^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }{ H }^{ 2 }T^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }{ H }^{ 1 }T^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }{ H }^{ 0 }T^{ 3 }\quad =\quad \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) { H }^{ 3 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) { H }^{ 2 }T^{ 1 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { H }^{ 1 }T^{ 2 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) T^{ 3 }\quad \) | + | \({ \left( H+T \right) }^{ 3 }\quad \\ =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ H }^{ 3 }T^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }{ H }^{ 2 }T^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }{ H }^{ 1 }T^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }{ H }^{ 0 }T^{ 3 }\\ =\quad \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) { H }^{ 3 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) { H }^{ 2 }T^{ 1 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { H }^{ 1 }T^{ 2 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) T^{ 3 }\quad \) |
| | この右辺の掛け合わせた係数部分を利用する事により各パターン数を抽出できる事を利用する | | この右辺の掛け合わせた係数部分を利用する事により各パターン数を抽出できる事を利用する |
| | | | |
| | となる。この全パターン数を求める式は | | となる。この全パターン数を求める式は |
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| - | \({ 2 }^{ 3 }\quad =\quad { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }\quad }=\quad 1+3+3+1\quad =\quad 8\) | + | \(H=1,T=1として\\ { \left( 1+1 \right) }^{ 3 }\quad =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ 1 }^{ 3 }1^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }1^{ 2 }1^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }1^{ 1 }1^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }1^{ 0 }1^{ 3 }\\ { 2 }^{ 3 }\quad =\quad { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }\quad }=\quad 1+3+3+1\quad =\quad 8 \) |
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| - | となる。ここで問題をもう一度読み返すと | + | となる。補足として二項分布的に考えると以下になる。以下の式の各項の値がそのまま確率になっている事から、二項定理の式が絶大な効果を持っている式である事が理解できる。その力の源泉は平均の値にあり、その式自体が表面上の計算式の影に隠れている事に注目する必要がある |
| | + | |
| | + | |
| | + | \(H=0.5,T=0.5として\\ { \left( 0.5+0.5 \right) }^{ 3 }\quad =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }0.5^{ 3 }0.5^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }0.5^{ 2 }0.5^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }0.5^{ 1 }0.5^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }0.5^{ 0 }0.5^{ 3 }\\ 1^{ 3 }\quad =\quad \underbrace { { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }\frac { 1 }{ 8 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }\frac { 1 }{ 8 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } }\frac { 1 }{ 8 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }\frac { 1 }{ 8 } \quad } }_{ ここで各項に1/2の3乗が発生している事が突出してこの公式をスゴくさせている } =\quad \frac { 1 }{ 8 } +\frac { 3 }{ 8 } +\frac { 3 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 8 } \quad =\quad 1\) |
| | + | |
| | + | 仮にコインが歪な形をしていて表が60％、裏が40％の確率で出る場合の式は以下になる |
| | + | このように有理数で考えると分りやすい |
| | + | |
| | + | \(H=0.6=\frac { 3 }{ 5 } ,T=0.4=\frac { 2 }{ 5 } として\\ { \left( 0.6+0.4 \right) }^{ 3 }\quad =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 2 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 1 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 0 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\\ 1^{ 3 }\quad =\quad \underbrace { { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }\frac { 27 }{ 125 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }\frac { 18 }{ 125 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } }\frac { 12 }{ 125 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }\frac { 8 }{ 125 } \quad } }_{ ここで各項に\frac { 1 }{ 5 } の3乗が発生している事が突出してこの公式をスゴくさせている } =\quad \frac { 27 }{ 125 } +\frac { 54 }{ 125 } +\frac { 36 }{ 125 } +\frac { 8 }{ 125 } \quad =\quad 1\) |
| | + | |
| | + | さて、ここで問題をもう一度読み返すと |
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| | ＜問題：３枚のコイン投げ＞ | | ＜問題：３枚のコイン投げ＞ |
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| | 何度か実行してみて求めた値とシミュレーションの値が近似する事を確かめて欲しい | | 何度か実行してみて求めた値とシミュレーションの値が近似する事を確かめて欲しい |
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