確率と統計​/確率の基礎

確率の基礎

確率を求める事は「正確に物事の数を数え上げ、対象となる全体を１として、その比を求める」計算となる
その計算の際の「数え上げ方」に注目し、実例と共に様々なケースをここに書いて行く事にする

case.1

参考文献「数学ガール　乱択アルゴリズム」のP5、「1.2.1　２枚のコイン」より、この問題を３枚のコインに変更して再考してみます

＜問題：３枚のコイン投げ＞
アリスは五百円玉、百円玉、十円玉を１枚ずつ投げてから言った。
「少なくとも１枚は<おもて>が出ました」
この時、すべてのコインが<おもて>になっている確率はいくらか。

まず、そんなに規模が大きな問題ではないので樹形図を書いて全体を眺めてみる。３枚コインを投げるとこうなる

• \(0,1,2,\aleph\)は"特別な数字（哲学的、原始的な数字）"なので最小の規模を考えるなら\(3\)からが良い
• 樹形図は見易く＜表＞が"H"(head)。＜裏＞が"T"(tail)と略して書く。英単語の頭文字などを利用して樹形図を書く際の労力を省く
  
  上から樹の経路をたどって「出来事として発生する事象」のパターンを抜き出してみる

HHH
HHT
HTH
HTT
THH
THT
TTH
TTT

の全部で８種の事象、パターンがある事がわかった
この中から

全て表が出たパターン
２枚表が出たパターン
１枚表が出たパターン
０枚表が出たパターン＝全て裏が出たパターン

に分ける。これは二項定理の
\({ \left( H+T \right) }^{ 3 }\quad \\ =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ H }^{ 3 }T^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }{ H }^{ 2 }T^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }{ H }^{ 1 }T^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }{ H }^{ 0 }T^{ 3 }\\ =\quad \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) { H }^{ 3 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) { H }^{ 2 }T^{ 1 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { H }^{ 1 }T^{ 2 }+\left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) T^{ 3 }\quad \)
この右辺の掛け合わせた係数部分を利用する事により各パターン数を抽出できる事を利用する

HHH
HHT
HTH
HTT
THH
THT
TTH
TTT

となる。この全パターン数を求める式は

\(H=1,T=1として\\ { \left( 1+1 \right) }^{ 3 }\quad =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }{ 1 }^{ 3 }1^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }1^{ 2 }1^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }1^{ 1 }1^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }1^{ 0 }1^{ 3 }\\ { 2 }^{ 3 }\quad =\quad { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }\quad }=\quad 1+3+3+1\quad =\quad 8 \)

となる。補足として二項分布的に考えると以下になる。以下の式の各項の値がそのまま確率になっている事から、二項定理の式が絶大な効果を持っている式である事が理解できる。その力の源泉は平均の値にあり、その式自体が表面上の計算式の影に隠れている事に注目する必要がある

\(H=0.5,T=0.5として\\ { \left( 0.5+0.5 \right) }^{ 3 }\quad =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }0.5^{ 3 }0.5^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }0.5^{ 2 }0.5^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }0.5^{ 1 }0.5^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }0.5^{ 0 }0.5^{ 3 }\\ 1^{ 3 }\quad =\quad \underbrace { { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }\frac { 1 }{ 8 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }\frac { 1 }{ 8 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } }\frac { 1 }{ 8 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }\frac { 1 }{ 8 } \quad } }_{ ここで各項に1/2の3乗が発生している事が突出してこの公式をスゴくさせている } =\quad \frac { 1 }{ 8 } +\frac { 3 }{ 8 } +\frac { 3 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 8 } \quad =\quad 1\)

仮にコインが歪な形をしていて表が60％、裏が40％の確率で出る場合の式は以下になる
このように有理数で考えると分りやすい

\(H=0.6=\frac { 3 }{ 5 } ,T=0.4=\frac { 2 }{ 5 } として\\ { \left( 0.6+0.4 \right) }^{ 3 }\quad =\quad _{ 3 }{ C }_{ 0 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 0 }+_{ 3 }{ C }_{ 1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 2 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 1 }+_{ 3 }{ C }_{ 2 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 1 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+_{ 3 }{ C }_{ 3 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 0 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\\ 1^{ 3 }\quad =\quad \underbrace { { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }\frac { 27 }{ 125 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }\frac { 18 }{ 125 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } }\frac { 12 }{ 125 } +{ _{ 3 }{ C }_{ 3 }\frac { 8 }{ 125 } \quad } }_{ ここで各項に\frac { 1 }{ 5 } の3乗が発生している事が突出してこの公式をスゴくさせている } =\quad \frac { 27 }{ 125 } +\frac { 54 }{ 125 } +\frac { 36 }{ 125 } +\frac { 8 }{ 125 } \quad =\quad 1\)

さて、ここで問題をもう一度読み返すと

＜問題：３枚のコイン投げ＞
アリスは五百円玉、百円玉、十円玉を１枚ずつ投げてから言った。
「少なくとも１枚は<おもて>が出ました」
この時、すべてのコインが<おもて>になっている確率はいくらか。

「少なくとも１枚は<おもて>が出ました」という事は「全て裏が出たパターン」は全体１としての内容に含めては駄目な事に気が付く
従って確率を求める式はこうなる

\(\frac { 全て表が出た }{ 全て表が出た+2枚表が出た+1枚表が出た } \quad =\quad \frac { { _{ 3 }{ C }_{ 0 } } }{ { _{ 3 }{ C }_{ 0 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 1 } }+{ _{ 3 }{ C }_{ 2 } } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 1+3+3 } \quad =\quad \frac { 1 }{ 7 } \quad =\quad 14.28...\)％

このひとつの式から確率を求める計算は非常に難しい「本当に問題と数え方を理解していないと計算ができない」事がよくわかる
では、この求めた値が正当な値であるかunityを使って検証し、その正しさを体感してみる

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

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using UnityEngine; using System.Collections; public class Test5 : MonoBehaviour { //求めた確率の値が正しい事を検証する void Start() { //コインを３回投げて //「表が１枚以上出ている場合の数」を母数に //「表が３枚出ている場合の数」を分子にして //確率を10万回のサンプリングで求めている print("シミュレーション結果 : " + Pr(100000)); print("二項定理の公式利用 : " + ((float)nCr(3, 0) / (float)(nCr(3, 0) + nCr(3, 1) + nCr(3, 2)))); } //指定回数サンプリング後、確率を返す private float Pr(int Sampling) { float deno = 0; float nume = 0; for (int i = 0; i < Sampling; i++) { int coin = GetHead(0.5f, 3); if (coin >= 1) deno++; //「表が１枚以上出ている場合の数」を母数に if (coin == 3) nume++; //「表が３枚出ている場合の数」を分子にして } return (float)nume / (float)deno; //確率を返す } //指定した「表の確率」で試行回数コイントスし表が出た回数を返す private int GetHead(float headPercent, int tossCount) { int head = 0; for (int i = 0; i < tossCount; i++) { if (TossCoin(headPercent) == true) head++; } return head; } //指定した表の確率でコイントスして表が出たらtrue、裏でfalseを返す public bool TossCoin(float headPercent) { if (Random.value < headPercent) return true; return false; } //組合せ計算 public int nCr(int n, int r) { if (n == r || r == 0) return 1; int deno = n; int nume = 1; for (int i = 2; i <= r; n--, i++) { deno *= (n - 1); nume *= i; } return deno / nume; } }

何度か実行してみて求めた値とシミュレーションの値が近似する事を確かめて欲しい

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