4: 2016-03-26 (土) 01:14:37 osinko  |
現: 2016-05-25 (水) 21:34:05 osinko |
| | + | TITLE:二項分布の追加検証 |
| | #jsmath | | #jsmath |
| | **二項分布の追加検証 [#e9de07bf] | | **二項分布の追加検証 [#e9de07bf] |
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| | ***caseC [#i6d59e44] | | ***caseC [#i6d59e44] |
| | + | ここのベルヌーイ確率変数を成立させている考え方はとても重要なので「考え方を身につける必要がある」 |
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| - | 参考資料：資料：数学ガール 乱択アルゴリズムP155～182 | + | 参考資料1：資料：数学ガール 乱択アルゴリズムP155～182 |
| | + | 参考資料2：[[ベルヌーイ過程:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E9%81%8E%E7%A8%8B]] |
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| | &font(Blue){表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる}; | | &font(Blue){表が出る確率60% (0.6)で裏が出る確率40% (0.4)のコインを\(n=3\)回投げる}; |
| | \(\Omega =\left\{ \quad { \omega }_{ 0 }=三回投げて表が0回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 1 }=三回投げて表が1回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 2 }=三回投げて表が2回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 3 }=三回投げて表が3回出る\quad \right\} \) | | \(\Omega =\left\{ \quad { \omega }_{ 0 }=三回投げて表が0回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 1 }=三回投げて表が1回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 2 }=三回投げて表が2回出る\quad ,\quad { \omega }_{ 3 }=三回投げて表が3回出る\quad \right\} \) |
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| - | この標本空間を「表が出る回数」とした確率変数\(X\left( \omega \right) \)の関数に対応させて考えると、その実数の数列は | + | この標本空間を定量的に考え解析しやすい形にする。「三回投げた時の表が出る回数」を量と考え、確率変数\(X\left( \omega \right) \)の関数に対応させる。その実数の数列は |
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| | \(X=\left\{ \quad { c }_{ 0 }=0\quad , \quad { c }_{ 1 }=1\quad ,\quad { c }_{ 2 }=2\quad ,\quad { c }_{ 3 }=3\quad \right\} \) となる。これは標本空間\(\ \Omega \)を対応させたものであるので全事象を網羅している | | \(X=\left\{ \quad { c }_{ 0 }=0\quad , \quad { c }_{ 1 }=1\quad ,\quad { c }_{ 2 }=2\quad ,\quad { c }_{ 3 }=3\quad \right\} \) となる。これは標本空間\(\ \Omega \)を対応させたものであるので全事象を網羅している |
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| - | ここで期待値とは何者か？という事について考えてみる | + | ここで例として\({c}_{2}\)が、どのような考えで\(2\)となったかを確認してみる |
| - | &font(Red,140%){例えばコインを3回投げるとき、表が3回出たら3で、表が3回出なかったら0となるインディケータ確率変数\({c}_{3}\)があると考える}; | + | これは独立試行のコインを３回投げて表が出れば真_成功（１）、裏が出れば偽_失敗（０）として |
| - | （これは表が「３回出る」という事象（部分集合）のみに注目している。他の事象は\({c}_{0}\)や\({c}_{1}\)、\({c}_{2}\)が担当している） | + | その回数を数え上げ足し合わせた数と言える。つまり |
| - | &font(Red,140%){命題に対する真偽を真（3）と偽（0）で表すのが「インディケータ」とするとその真偽の確率を反映した値は期待値とよばれるものになる}; | + | |
| - | 例えば、この真の確率が50％であるならば3×0.5=1.5。期待値1.5となる | + | |
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| - | これを踏まえインディケータ確率変数\({c}_{3}\)の期待値\(E\left[ { c }_{ 3 } \right] \)を求める式を考えると以下のようになる | + | |１回目|２回目|３回目|１回目＋２回目＋３回目| |
| | + | |1|0|1|1+0+1=2| |
| | + | |1|1|0|1+1+0=2| |
| | + | |0|1|1|0+1+1=2| |
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| - | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( X={ c }_{ k } \right) }+0\cdot { Pr\left( X=0 \right) }\\ \quad \quad \quad \quad ={ c }_{ k }\cdot { Pr\left( { c }_{ k } \right) }\) | + | 上記のように計算され\(2\)という数字が算出されている。このような命題に対する真偽を\(1\)と\(0\)で、あらわし数え上げる変数を「インディケータ変数」と呼び、 |
| | + | ある事象が起きるかどうか\(1\)か\(0\)かで定まる確率計算と共に合わせ数え上げたものを「ベルヌーイ確率変数」と呼ぶ |
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| - | &font(Red){確率分布\(Pr\)関数は入力にインディケータ確率変数を向かい入れているので二項分布の関数にする必要がある}; | + | &font(120%){&font(Red){ベルヌーイ確率変数に対応する確率分布関数は、樹形図における該当する事象の樹の本数と各経路の確率が掛け合わされて、その事象の確率が算出される必要がある};}; |
| | + | &font(120%){&font(Red){よってベルヌーイ確率変数に対応する確率分布は二項分布となる};}; |
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| - | よって式は \({ c }_{ k }\cdot { {P}_{n}\left( k \right) }\) となる。二項分布\({P}_{n}\)の定義は \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) であるから、これを代入すると | + | 二項分布の定義は \({ P }_{ n }\left( k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) である。右辺のコンビネーション計算が樹形図の樹の数を数え上げている。それにつづく右側が確率となっている |
| | + | これはcaseAやcaseBを見てもらえば何が起こっているかわかるだろう |
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| - | &font(140%){\(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\) }; | + | ここで一例として\({c}_{2}\)の確率を求める計算をこれに当てはめてみると・・・ |
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| - | この式に実際の値を代入していく。\(n=3\quad ,\quad { c }_{ k }=3\quad ,\quad k=3\quad ,\quad p=\frac { 3 }{ 5 } \quad ,\quad q=\frac { 2 }{ 5 } \) | + | -二項分布関数 \(P\) |
| | + | -試行回数 \(n=3\) |
| | + | -表が出る回数 \(k=2\) |
| | + | -表が出る確率 \(p=\frac { 3 }{ 5 } \) |
| | + | -裏が出る確率 \(q=\frac { 2 }{ 5 } \) |
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| - | \(E\left[ { c }_{ 3 } \right] =3\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-3 }\\ =3\times 1\times \frac { 27 }{ 125 } \times 1\\ =\frac { 81 }{ 125 } \) | + | となる。そして、この確率に対し、ベルヌーイ確率変数を掛け合わせると、その事象の期待値\(E\left[ { c }_{ k } \right] \)が算出できる |
| | | | |
| - | これが確率変数\(X\)の事象（部分集合）\({c}_{3}\)の期待値である。これはあくまで全事象の中の一部分なので全ての起こる事象を足し合わせると「期待値の和」により「表が出る回数の期待値」を漏れなく求める事が出来る | + | \(E\left[ { c }_{ k } \right] ={ c }_{ k }\cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\\ \\ E\left[ { c }_{ 2 } \right] \quad =\quad 2\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-2 }\quad =\quad 2\cdot 3\cdot \left( \frac { 18 }{ 125 } \right) \quad =\frac { 108 }{ 125 } \) |
| | + | |
| | + | これで確率変数\(X\)の\({c}_{2}\)の期待値が求められたことが判る。他の事象\({c}_{0}\)や\({c}_{1}\)、\({c}_{3}\)も同様の仕組みで求めることができる |
| | + | これを&font(Red){「期待値の和」};の性質を利用してシグマの式でまとめ上げたものが |
| | + | |
| | + | &font(150%){\(\displaystyle E\left[ X \right] =\sum _{ k=0 }^{ n }{ { c }_{ k } } \cdot \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }\)}; となっている |
| | + | |
| | + | この式を利用して問題を解いてみる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle E\left[ X \right] \quad =\quad 0\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 0 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-0 }\quad +\quad 1\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 1 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-1 }\quad +\quad 2\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-2 }\quad +\quad 3\cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3-3 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\cdot 1\cdot 1\cdot { \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3 }\quad +\quad 1\cdot 3\cdot { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 2 }\quad +\quad 2\cdot 3\cdot { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 }{ \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }\quad +\quad 3\cdot 1\cdot { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }\cdot 1\\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\quad +\quad 3\cdot \frac { 12 }{ 125 } \quad +\quad 6\cdot \frac { 18 }{ 125 } \quad +\quad 3\cdot \frac { 27 }{ 125 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\quad +\quad \frac { 36 }{ 125 } \quad +\quad \frac { 108 }{ 125 } \quad +\quad \frac { 81 }{ 125 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad \frac { 225 }{ 125 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 1.8\) |
| | + | |
| | + | これは\(P=0.6\)で\(3p\)と同じ答えと言える。資料：数学ガール_乱択アルゴリズムP169の答えと同一であり\(E\left[ X \right] =np\)でこの問いには答えられることを意味している |
| | + | |
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