9: 2016-06-10 (金) 18:46:45 osinko  |
10: 2016-06-12 (日) 13:48:17 osinko |
| | 忘備録 | | 忘備録 |
| | | | |
| - | シグマ計算の別項微分、積分 | + | **シグマの微分 [#j833addc] |
| | + | |
| | + | \(a=1\) の場合の式を \(r\) で項別微分する |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \frac { d }{ dr } \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { r }^{ k } } \quad \mapsto \quad \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } \) |
| | + | |
| | + | この微分したシグマをシンプルな式に変形する。シグマ全体に\(\left( 1-r \right)\)を掛けて数列を整理する |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \begin{eqnarray} \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad 1+2r+3{ r }^{ 2 }+\cdots +n{ r }^{ n-1 } } -\left\{ r+2{ r }^{ 2 }+3{ r }^{ 3 }+\cdots +\left( n-1 \right) { r }^{ n-1 }+n{ r }^{ n } \right\} \\ \quad & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \left( 1+r+{ r }^{ 2 }+\cdots +{ r }^{ n-1 } \right) - } n{ r }^{ n } \\ \quad & = & \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } - } n{ r }^{ n } \end{eqnarray}\) |
| | + | 式は全体がこの状態になっている |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { r }^{ k-1 } } - } n{ r }^{ n }\) |
| | + | |
| | + | 右辺のシグマの式をシンプルにする |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad \frac { \left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } - } n{ r }^{ n }\) |
| | + | |
| | + | |
| | + | 極限を取る。\(0\le r\le 1\)により0になる部分がある |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left( 1-r \right) \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\frac { \left( 1-0 \right) }{ 1-r } -0\quad =\frac { 1 }{ 1-r } \) |
| | + | |
| | + | 両辺を\(\left( 1-r \right)\)で割る |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { kr }^{ k-1 } } =\frac { 1 }{ { \left( 1-r \right) }^{ 2 } } \) |
| | + | |
| | + | ***シグマ計算の別項微分、積分 [#u12f7215] |
| | 以下に色々と書いてあるが、ぶっちゃけて言うとシグマの中の式に対しても条件を満たせば微積分が使えますよという定理 | | 以下に色々と書いてあるが、ぶっちゃけて言うとシグマの中の式に対しても条件を満たせば微積分が使えますよという定理 |
| | ？？収束半径というものがどうやら何かの性質を示唆しているらしい？？ | | ？？収束半径というものがどうやら何かの性質を示唆しているらしい？？ |
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