13: 2016-08-29 (月) 12:09:48 osinko  |
現: 2016-09-11 (日) 01:22:39 osinko |
| | #jsmath | | #jsmath |
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| - | **P58～61の理解 [#i79c06e1] | + | **P63～ [#t9ddf252] |
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| | + | **P58～61の理解（対称群の理解など） [#i79c06e1] |
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| | + | 資料： |
| | + | -[[対称群:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4]] |
| | + | -[[頂点推移グラフ:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%82%E7%82%B9%E6%8E%A8%E7%A7%BB%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95]] |
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| | + | //ある学門に「幾何学を学ばざる者、この門をくぐるべからず」と書いてあったらしい |
| | + | 順列の中から幾何的な図となる関係を見つけることができる。その考えの土台には対称群、置換群の考え方がベースにある |
| | + | |
| | + | 例：三次の対称群\({S}_{3}\)を考えると |
| | + | \(\left| { S }_{ 3 } \right| \quad =\quad 3!\quad =\quad 3\times 2\times 1\quad =\quad 6\) |
| | + | |
| | + | 順列に対し置換群の意味を振り分けると以下になる（\(\iota\)（イオタ）を恒等置換。\(\sigma\)（シグマ）を左向きの回転。\(\tau\)（タウ）を全要素の反転と考えている） |
| | + | \(123\quad =\quad \iota \\ 132\quad =\quad \tau \cdot { \sigma }\\ 213\quad =\quad \tau \cdot { \sigma }^{ 2 }\\ 231\quad =\quad \sigma \\ 312\quad =\quad { \sigma }^{ 2 }\\ 321\quad =\quad \tau \) |
| | + | |
| | + | \({ S }_{ 3 }=\left\{ \quad \iota \quad ,\quad \tau \cdot { \sigma }\quad ,\quad \tau \cdot { \sigma }^{ 2 }\quad ,\sigma \quad ,\quad { \sigma }^{ 2 }\quad ,\quad \tau \quad \right\} \) |
| | + | |
| | + | これを頂点推移グラフにすると以下のような幾何図になり推移や置換の関係がよく分かるようになる |
| | + | （数学を知らべていて考え方が図になって行くのは不思議な感じがする） |
| | + | |
| | + | &ref(rot2.png); |
| | + | |
| | + | ***対称群の中の置換群 [#r336a065] |
| | テーブルの上の6皿の回転を数学的に表現した置換群R | | テーブルの上の6皿の回転を数学的に表現した置換群R |
| | \(R=\left\{ { \sigma }^{ k }|0\le k\le 5 \right\} =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 1 },{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \) | | \(R=\left\{ { \sigma }^{ k }|0\le k\le 5 \right\} =\left\{ \iota ,{ \sigma }^{ 1 },{ \sigma }^{ 2 },{ \sigma }^{ 3 },{ \sigma }^{ 4 },{ \sigma }^{ 5 } \right\} \) |
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| | \(f=g\)と書いたらfとgは同値。\(f\equiv g\quad (mod\quad m)\)と書いたらfとgはmを法として同値。\(f{ \sim }_{ R }g\)と書いたらfとgはRの置換群により同値と言えることになる | | \(f=g\)と書いたらfとgは同値。\(f\equiv g\quad (mod\quad m)\)と書いたらfとgはmを法として同値。\(f{ \sim }_{ R }g\)と書いたらfとgはRの置換群により同値と言えることになる |
| | + | |
| | + | 色んなグループに世の中にある、あらゆるものは分けられる。この場合、置換群によって同値類としてグループ分けされた |
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| | **漸化式の性質 [#u0856f4b] | | **漸化式の性質 [#u0856f4b] |
| | \({ x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 反射性NG\\ { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+2 }\quad \rightarrow \quad { x }_{ n+2 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 対称性NG\\ { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+2 }\quad \wedge \quad { x }_{ n+2 }>{ x }_{ n+3 }\quad \rightarrow \quad { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+3 }\quad \quad \quad 推移性OK\) | | \({ x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 反射性NG\\ { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+2 }\quad \rightarrow \quad { x }_{ n+2 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 対称性NG\\ { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+2 }\quad \wedge \quad { x }_{ n+2 }>{ x }_{ n+3 }\quad \rightarrow \quad { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+3 }\quad \quad \quad 推移性OK\) |
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| - | 従って同値性は持たず推移性を持つ事になる。この推移性はεδ論法によって確保されていると考えられる。\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad ))))\quad\) | + | 従って同値性は持たず推移性を持つ事になる |
| | + | 値が回転ループすることもないし、ある具体的な値に固定化（同値化）することもない（つまり同値でなく近似値になる）。演算の順番も反射性、対称性が無いので入れ替えれない |
| | + | この推移性はεδ論法によって確保されていると考えられる。\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad ))))\quad\) |
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| | また、恒等や反転にあたる\(\iota \)（イオタ）や\(\tau \)（タウ）、つまり単位元、逆元のような存在は見つけられない | | また、恒等や反転にあたる\(\iota \)（イオタ）や\(\tau \)（タウ）、つまり単位元、逆元のような存在は見つけられない |
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