メモ1 のバックアップの現在との差分(No.5)

Unity学習帳2冊目メモ1 のバックアップの現在との差分(No.5)
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5: 2016-08-22 (月) 23:40:26 osinko ソース 現: 2016-09-11 (日) 01:22:39 osinko ソース
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TITLE:memo1 TITLE:memo1
#jsmath #jsmath
 +
 +**P63～ [#t9ddf252]
 +
 +**P58～61の理解（対称群の理解など） [#i79c06e1]
 +
 +資料：
 +-[[対称群:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4]]
 +-[[頂点推移グラフ:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%82%E7%82%B9%E6%8E%A8%E7%A7%BB%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95]]
 +
 +//ある学門に「幾何学を学ばざる者、この門をくぐるべからず」と書いてあったらしい
 +順列の中から幾何的な図となる関係を見つけることができる。その考えの土台には対称群、置換群の考え方がベースにある
 +
 +例：三次の対称群\({S}_{3}\)を考えると
 +\(\left| { S }_{ 3 } \right| \quad =\quad 3!\quad =\quad 3\times 2\times 1\quad =\quad 6\)
 +
 +順列に対し置換群の意味を振り分けると以下になる（\(\iota\)（イオタ）を恒等置換。\(\sigma\)（シグマ）を左向きの回転。\(\tau\)（タウ）を全要素の反転と考えている）
 +\(123\quad =\quad \iota \\ 132\quad =\quad \tau \cdot { \sigma  }\\ 213\quad =\quad \tau \cdot { \sigma  }^{ 2 }\\ 231\quad =\quad \sigma \\ 312\quad =\quad { \sigma  }^{ 2 }\\ 321\quad =\quad \tau \)
 +
 +\({ S }_{ 3 }=\left\{ \quad \iota \quad ,\quad \tau \cdot { \sigma  }\quad ,\quad \tau \cdot { \sigma  }^{ 2 }\quad ,\sigma \quad ,\quad { \sigma  }^{ 2 }\quad ,\quad \tau \quad  \right\} \)
 +
 +これを頂点推移グラフにすると以下のような幾何図になり推移や置換の関係がよく分かるようになる
 +（数学を知らべていて考え方が図になって行くのは不思議な感じがする）
 +
 +&ref(rot2.png);
 +
 +***対称群の中の置換群 [#r336a065]
 +テーブルの上の6皿の回転を数学的に表現した置換群R
 +\(R=\left\{ { \sigma  }^{ k }|0\le k\le 5 \right\} =\left\{ \iota ,{ \sigma  }^{ 1 },{ \sigma  }^{ 2 },{ \sigma  }^{ 3 },{ \sigma  }^{ 4 },{ \sigma  }^{ 5 } \right\} \)
 +
 +**P51～P57の理解 [#mf1699c6]
 +
 +資料：[[イテレータ:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%86%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%BF]]
 +
 +プログラムコードで表現した方が話が早い
 +「プログラムの言葉」を「数学の言葉」で表しているだけ
 +
 +//群は何層にも重なるあみだくじみたいなものでプログラマーはビットシフト演算によって簡単な群の一部の仕組みを体験していたことになる。但し反射性、対称性、推移性などの論理的な同値の裏付けや、整数と群の関係、代数系に関して明確に認識していない可能性もある。その意味で群や代数系を勉強する意味はあると考えられる。
 +
 +#code(csharp){{
 +using UnityEngine;
 +using System.Collections;
 +
 +public class circle : MonoBehaviour
 +{
 +   int[] X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, };    //番号の集合X　ここであえて視覚化しているがこれは使わない。プログラムでは0から始まる配列番号（自然数）があるからそちらを利用する
 +   char[] Y = { 'A', 'B', 'C', };      //料理の集合Y　A=シューマイ、B=棒棒鶏、C=酢豚
 +
 +   void Start()
 +   {
 +       //なっとくする群環体P54のプログラムコードによる再現。配列番号に合わせて1引算しています
 +       print( f(sigma(1-1)) );
 +       print( f(sigma(2-1)) );
 +
 +       print( sigma(sigma(sigma(1-1))) );  //σ^3
 +   }
 +
 +   //σ:X→X
 +   //番号の回転関数σ（X上の置換）P53参照
 +   private int sigma(int x)
 +   {
 +       int[] shift = { 5, 0, 1, 2, 3, 4, };
 +       return shift[x];
 +   }
 +
 +   //f:X→Y
 +   //番号の集合Xから料理の集合Yへの関数　（意味や型の変換とも言える。この場合、「番号」から「テーブルに並んだ料理」へと意味が変わっている）P52参照
 +   private char f(int x)
 +   {
 +       int[] y = { 0, 1, 1, 0, 0, 2, };    //Yの集合から回転テーブルに並んだ料理を表すABBAACにしている
 +       return Y[y[x]];
 +   }
 +}
 +}}
 +
 +＜P56の二通りの料理の配置に関して＞
 +
 +\(f:X\rightarrow Y\)　と \(g:X\rightarrow Y\)　があるとする。例えば以下のようなものを考える
 +
 +\(f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ A & A & B & B & C & C \end{pmatrix}\quad でg=f\cdot { \sigma  }^{ j }としてj=2とした時、g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ C & C & A & A & B & B \end{pmatrix}\quad となる\)
 +
 +このfとgとの二項との間にテーブルの回転をモデル化した置換群Rによって同値となる事を表現する「\({ \sim  }_{ R }\)」（チルダアールと読む）という数学記号を作り、適用すると「\(f{ \sim  }_{ R }g\)」と表現できるようになる
 +
 +\(f=g\)と書いたらfとgは同値。\(f\equiv g\quad (mod\quad m)\)と書いたらfとgはmを法として同値。\(f{ \sim  }_{ R }g\)と書いたらfとgはRの置換群により同値と言えることになる
 +
 +色んなグループに世の中にある、あらゆるものは分けられる。この場合、置換群によって同値類としてグループ分けされた
 +
 +**漸化式の性質 [#u0856f4b]
 +（自分が勝手に考えた間違っている可能性が高い記事です）
 +
 +\(\sqrt { C } \)の漸化式は\({ x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ n }+\frac { C }{ { x }_{ n } }  \right) \)となる
 +
 +この式を使い \(\sqrt { 2 } \) として \({ X }_{ n }=1\) で計算を始めると
 +\({ x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( 1+\frac { 2 }{ 1 }  \right) =\frac { 3 }{ 2 } =1.5\\ { x }_{ n+2 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 3 }{ 2 } +\frac { 2 }{ \frac { 3 }{ 2 }  }  \right) =\frac { 17 }{ 12 } =1.4166...\\ { x }_{ n+3 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 17 }{ 12 } +\frac { 2 }{ \frac { 17 }{ 12 }  }  \right) =\frac { 577 }{ 408 } =1.4142...\)
 +
 +この数列\(\left\{  \quad{ x }_{ n+1 }\quad ,\quad { x }_{ n+2 }\quad ,\quad { x }_{ n+3 }\quad ,\quad \cdots  \right\} \) は \(\left\{ \quad 1.5\quad ,\quad 1.4166...\quad ,\quad 1.4142...\quad ,\quad \cdots \quad  \right\} \) となる
 +
 +この&font(Red){漸化式の関数を経由した数列の関係};を観察すると、各々の各値の関係は\({ x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+2 }>{ x }_{ n+3 }>\cdots \)となり
 +
 +\({ x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 反射性NG\\ { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+2 }\quad \rightarrow \quad { x }_{ n+2 }>{ x }_{ n+1 }\quad \quad \quad 対称性NG\\ { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+2 }\quad \wedge \quad { x }_{ n+2 }>{ x }_{ n+3 }\quad \rightarrow \quad { x }_{ n+1 }>{ x }_{ n+3 }\quad \quad \quad 推移性OK\)
 +
 +従って同値性は持たず推移性を持つ事になる
 +値が回転ループすることもないし、ある具体的な値に固定化（同値化）することもない（つまり同値でなく近似値になる）。演算の順番も反射性、対称性が無いので入れ替えれない
 +この推移性はεδ論法によって確保されていると考えられる。\(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right|  <\varepsilon \quad ))))\quad\)
 +
 +また、恒等や反転にあたる\(\iota \)（イオタ）や\(\tau \)（タウ）、つまり単位元、逆元のような存在は見つけられない
 +このような漸化式は対称性がないのでasymptote、アシメトリー_非対称な式といえるのではないか？
 +グラフで見た時もεとδが0より常に大きいと考えれば輪になったり左右上下が対称になるような幾何図にはならない
 +（引き続き要調査）
 +
 +メモ：もしパラメーターに虚数があれば輪や螺旋、渦巻になる可能性があると考えられる？
 +
 +**数え上げ [#b2bcd597]
 +
 +資料：書籍「なっとくする群環体」P59
 +2種の数え上げ
 +&ref(hex1.png);
 +
**位相幾何学（topology） [#tff80666] **位相幾何学（topology） [#tff80666]
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