2: 2016-11-02 (水) 02:04:58 osinko  |
現: 2016-11-03 (木) 01:35:25 osinko |
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| | **メモ [#gdcfd268] | | **メモ [#gdcfd268] |
| - | \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <{ a }_{ n }<\alpha +\varepsilon \quad )\) | + | \(\varepsilon \delta \)論法自体は極限を論理記号、数字、関数を用いて証明するために利用される |
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| - | \( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) | + | 収束の場合は「はさみうちの原理」を論理的に考える際に役立つ |
| | + | 頭を\(\varepsilon \delta \)で抑え込んで\(a\)（エー）や\(\pm \infty \)に向かって限りなく近づけさせる事で、間に挟んでいる関数の解の極限値\(\alpha \)（アルファ）を算出する |
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| | + | 鶏が先か卵が先かの話で言えば、最初から極限値が分かっている場合、この場合、鶏が先なので卵の方を考えることになる |
| | + | つまり \(\varepsilon\) に対応する \(\delta\) を考えることになる。これは代数、微積分の記号的操作による計算よりも、より実数的なニュートンラフソンや、PCでの極限計算に利用できる（らしい） |
| | + | 高校数学で先に極限の計算を習ってしまうので鶏が先になってしまう事も多い点に注意 |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <{ a }_{ n }<\alpha +\varepsilon \quad )\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =0\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) |
| | + | |
| | + | 下図は動作イメージ。青色のグラフが \(\frac { 1 }{ n } \)。赤色が \(\varepsilon\) と \(\delta\) 。緑色が \({ a }_{ n }\) と \(n\) 。赤と緑のグラフのy軸は最終的に0に限りなく近くなる |
| | + | 緑が赤と0との間に挟まれている |
| | + | &ref(Animation2.gif); |
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| | \( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } +3=3\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| \frac { 1 }{ n } +3-3 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 3-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } +3<3+\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) | | \( \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } +3=3\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| \frac { 1 }{ n } +3-3 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 3-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } +3<3+\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall n\in { N }\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad 0-\varepsilon <\frac { 1 }{ n } <0+\varepsilon \quad )\) |
| | | | |
| - | \( \lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right) } =\alpha \) | + | \(\lim _{ x\rightarrow a }{ f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad ((a-\delta <x<a+\delta \quad \wedge \quad x≠a)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad ) ) \) |
| - | \( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad ((a-\delta <x<a+\delta \quad \wedge \quad x≠a)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad ) \) | + | |
| | + | \(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ x } } +2=3\\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-1 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { 1 }{ x } +2-3 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad ((1-\delta <x<1+\delta \quad \wedge \quad x≠1)\quad \Rightarrow \quad 1-\varepsilon <\frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \quad ) ) \) |
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| - | \( \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ x } } +2=3 \) | + | 補足 |
| | + | \(\left| \frac { 1 }{ x } +2-3 \right| <\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \frac { 1 }{ x } -1<\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \\ -\frac { 1 }{ x } +1<\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad -\frac { 1 }{ x } <-1+\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac { 1 }{ x } >1-\varepsilon \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad 1-\varepsilon <\frac { 1 }{ x } <1+\varepsilon \\ \\ \delta >\left| x-1 \right| >0\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 0<\left| x-1 \right| \\ \left| x-1 \right| <\delta \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 0<x-1\quad \Leftrightarrow \quad 1<x \\ 0<-x+1\quad \Leftrightarrow \quad -1<-x\quad \Leftrightarrow \quad 1>x \\ x-1<\delta \quad \Leftrightarrow \quad x<1+\delta \\ -x+1<\delta \quad \Leftrightarrow \quad -x<-1+\delta \quad \Leftrightarrow \quad x>1-\delta \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad 1-\delta <x<1+\delta \quad \wedge \quad x≠1\) |
| | + | &ref(Animation3.gif); |
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