イプシロンデルタ_メモ2
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TITLE:イプシロンデルタ_メモ2 #jsmath プログレス ***微分の極限の定義 [#u792a56d] \(\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \) \( \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| b-a \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } -f'\left( a \right) \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (a-\delta <b<a+\delta \quad \wedge \quad b≠a)\quad \Rightarrow \quad f'\left( a \right) -\varepsilon <\frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } <f'\left( a \right) +\varepsilon \quad )\quad )\\ \delta は \delta=\varepsilon でOK \) ***簡単な実験 [#x9b5346e] 資料: -[[イプシロン-デルタ論法:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95]] //-[[無限の問題を解消した「極限」ーそれは100年の努力によって生み出された:https://www.youtube.com/watch?v=jgthg8qfYlQ&index=7&list=PLw2o_GLCMgkxX1yGrs5y0AVU2jMB5UW8M]] //-[[ニュートンのイノベーション:流率法で接線の傾きを求める:https://www.youtube.com/watch?v=jmd9cThbXOA&list=PLw2o_GLCMgkxX1yGrs5y0AVU2jMB5UW8M&index=4]] \( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \quad x }^{ 2 } } =4\\ \\ \varepsilon \delta 論法のフレームワークに乗せると以下になる\\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\delta >\left| x-2 \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| { x }^{ 2 }-4 \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\delta <x<2+\delta \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-\varepsilon <{ x }^{ 2 }<4+\varepsilon \quad )\\ \\ \varepsilon は任意(自由な値を選ぶ)。とりあえず\varepsilon =1とする。\\ \delta は導出はともかくwikiの式を使う。\delta =\sqrt { \varepsilon +4 } -2\\ すると以下のような論理式になる \\ \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (2-\sqrt { 1+4 } -2<x<2+\sqrt { 1+4 } -2\quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 4-1<{ x }^{ 2 }<4+1\quad \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (-\sqrt { 5 } <x<\sqrt { 5 } \quad \wedge \quad x≠2)\quad \Rightarrow \quad 3<{ x }^{ 2 }<5\quad )\quad ) \) これをグラフ図で確認すると以下のようになっている ***積分のロジック [#pcd445a8] -[[積分で面積が求まるのはなぜ?ー定積分をイメージでとらえる:https://www.youtube.com/watch?v=b1d-BAxvoWA]] \(F\left( x \right) を微分したものがf\left( x \right) とする\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad { \left[ F\left( x \right) \right] }_{ a }^{ b }\quad =\quad F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad \cdots ①\\ \\ \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { F\left( b \right) -F\left( a \right) }{ b-a } } =f(a)\\ \\ h=b-a\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad \cdots ④\quad として\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F\left( a+h \right) -F\left( a \right) }{ h } } =f(a)\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ F\left( a+h \right) -F\left( a \right) } =f(a)\cdot h\quad \cdots ②\\ \\ f\left( x \right) のグラフを区分求積法を利用して和を求めるとする。②の左辺がF\left( a+h \right) -F\left( a \right) 、右辺がf(a)\cdot h。右辺に注目し\\ 区分間の幅をh、分割数をnと考えれば、このaを等差にして{ a }_{ n }=\left\{ a\quad ,\quad a+h\quad ,\quad a+2h\quad ,\cdots ,\quad a+\left( n-1 \right) h \right\} の総和をとれば面積が求められる\\ \\ \begin{matrix} \begin{eqnarray} F\left( a+h \right) -F\left( a \right) & \quad =\quad & f(a)\cdot h \\ F\left( a+2h \right) -F\left( a+h \right) & = & f(a+h)\cdot h \\ F\left( a+3h \right) -F\left( a+2h \right) & = & f(a+2h)\cdot h \\ F\left( a+4h \right) -F\left( a+3h \right) & = & f(a+3h)\cdot h \\ \vdots & = & \vdots \\ F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) -F\left( a+\left( n-2 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-2 \right) h)\cdot h \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a+\left( n-1 \right) h \right) & = & f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h \end{eqnarray} \\ +)\_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \\ F\left( a+nh \right) -F\left( a \right) \quad =\quad f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h\quad \cdots ③ \end{matrix}\\ \\ この③式の左辺にあるnhは分割数と区分幅を掛算したものでb=a+nh\quad \cdots ⑤と考えられる。従って③は\\ \\ F\left( b \right) -F\left( a \right) \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \quad となり、これに①を代入すると\\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(a)\cdot h+f(a+h)\cdot h+f(a+2h)\cdot h+\cdots +f(a+\left( n-1 \right) h)\cdot h } \\ \\ となる。\\ \\ <補足>\\ ④は微分内の考えであり⑤は積分内で考えている点に留意\\ つまり④のhは総和される前の幅であり、⑤のnhは総和された幅\) ***微分のロジック [#w4e5f04e] \( \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right) }{ b-a } } =f'\left( a \right) \\ \\ b-a=h\quad \Leftrightarrow \quad b=a+h\quad ,\quad a=x\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ 代数的な微分\quad { x }^{ n }\quad \mapsto \quad n{ x }^{ n-1 }\\ その使用例:f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( x \right) =2{ x }\quad \quad ,\quad \quad f\left( t \right) ={ 4.9t }^{ 2 }\quad \mapsto \quad f'\left( t \right) =9.8t\\ \\ このこの微分への記号的操作による変換の根拠は以下の方程式を解くことで確かめられる\\ \\ \begin{cases} f\left( x \right) =x^{ n }\quad \cdots ① \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \cdots ② \end{cases}\\ \\ ①を②に代入\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \\ \left( x+h \right) ^{ n }の部分を二項定理\quad { \left( a+b \right) }^{ n }=_{ n }{ C }_{ r }{ a }^{ n-r }b^{ r }\quad を利用して展開する\\ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( x+h \right) ^{ n }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { _{ n }{ C }_{ 0 }x^{ n } }+{ _{ n }{ C }_{ 1 }x^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ _{ n }{ C }_{ n-1 }xh^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ r }h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x^{ n } }+{ nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } }-x^{ n } }{ h } } =f'\left( x \right) \\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { nx^{ n-1 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h^{ 2 } }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 3 } }+\cdots +{ nxh^{ n-1 } }+{ h^{ n } } }{ h } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 式を整理\\ \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }h }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }h^{ 2 } }+\cdots +{ nxh^{ n-2 } }+{ h^{ n-1 } } } =f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 分母を払う\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }+{ _{ n }{ C }_{ 2 }x^{ n-2 }0 }+{ _{ n }{ C }_{ 3 }x^{ n-3 }0 }+\cdots +{ nx0 }+0=f'\left( x \right) \quad \quad \quad \cdots 極限を取る\\ \quad \Leftrightarrow \quad { \quad nx^{ n-1 } }=f'\left( x \right) \\ \\ 微分の本質に二項定理が深く関係している事がよくわかる \) ネイピア数を求める際にも、テイラー展開やマクローリン展開する際でも&font(Red){「無限が関わってくる指数計算では」};ほぼ必ず関係してくる
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1: 2016-11-07 (月) 01:21:11
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