7: 2016-11-17 (木) 13:42:41 osinko  |
8: 2016-11-17 (木) 18:42:40 osinko |
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| | \(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad ) \) | | \(\lim _{ x\rightarrow b }{ \quad f\left( x \right) } =\alpha \\ \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad \delta >\left| x-b \right| >0\quad \Rightarrow \quad \left| f\left( x \right) -\alpha \right| <\varepsilon \quad )\\ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad (\quad (b-\delta <x<b+\delta \quad \wedge \quad x≠b)\quad \Rightarrow \quad \alpha -\varepsilon <f\left( x \right) <\alpha +\varepsilon \quad )\quad ) \) |
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| | + | 資料：[[数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]] |
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| | + | 「 \(\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\) 」の部分に注目してみる |
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| | + | この部分を日本語に翻訳すると、「任意の正の数\(\varepsilon\)が与えられたとき、その\(\varepsilon\)に対応して・・・が成り立つ正の数\(\delta\)を見つけることが出来る。」となる |
| | + | 注意するのは、この「\(\forall\) (全称限量記号 forall)」と「\(\exists\) (存在限量記号 exists)」という論理記号が集合を指しているという点と、この「対応して」という部分 |
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| | + | 「任意の正の数\(\varepsilon\)」とは集合を表している |
| | + | 0でない0より大きい値の数すべて、そのような集合が\(\varepsilon\)だと言う |
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| | + | 続く対応という部分。数学で使う「対応」という単語は日常で使う同じ単語と意味が異なる |
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| | + | 資料：[[対応 (数学):https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%BF%9C_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)]] |
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| | + | 多価関数は入出力に集合を扱う関数みたいなものだと言える（C#のコレクションとLINQとの関係みたいなもの） |
| | + | これはつまり、\(g:\varepsilon \rightarrow \delta \) となるような、0でない0より大きい\(\delta\)があると言っている |
| | + | この\(g\)という関数（写像）は論理式内で定義されていないので自分で探す（作る）必要がある |
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| | &font(Red){\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して0にはならない）}; | | &font(Red){\(\varepsilon\)は無限に小さくなっていく値を表す変数である（しかし、決して0にはならない）}; |
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| - | ここで、\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか？この事に対して考える。例えば放物線を描く関数 \(y=f(x)={x}^{2}\) の一点を \(x=p\) と定めた時、対応する\(y\)の値は \({p}^{2}\) となる。即ち座標 \((p ,{ p }^{ 2 })\) となり、この \(p\) に \(\varepsilon >0,\delta >0\) である事を注意しながら \(b + \delta\) を代入すると \({ \left( b +\delta \right) }^{ 2 }=\alpha + \varepsilon \) の関係が成り立つ。この式を \(\delta\) に対して解くと | + | ここで、\(\delta\)に適当と思われる正数の値とは、どんな式の形をしていれば良いか？例えば放物線を描く関数 \(y=f(x)={x}^{2}\) の一点を \(x=p\) と定めた時、対応する\(y\)の値は \({p}^{2}\) となる。即ち座標 \((p ,{ p }^{ 2 })\) となり、この \(p\) に \(\varepsilon >0,\delta >0\) である事を注意しながら \(b + \delta\) を代入すると \({ \left( b +\delta \right) }^{ 2 }=\alpha + \varepsilon \) の関係が成り立つ。この式を \(\delta\) に対して解くと |
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| | \({ \left( b+\delta \right) }^{ 2 }=\alpha +\varepsilon \quad \rightarrow \quad b+\delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } \quad \rightarrow \quad \delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } -b \) となる | | \({ \left( b+\delta \right) }^{ 2 }=\alpha +\varepsilon \quad \rightarrow \quad b+\delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } \quad \rightarrow \quad \delta =\sqrt { \alpha +\varepsilon } -b \) となる |
| | ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha } \) より\(b=2,\alpha=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる | | ここで関数の動作確認の為 \(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ f\left( x \right) =4 }\)としてδε論法に当てはめると \(\lim _{ x\rightarrow b }{ f\left( x \right) =\alpha } \) より\(b=2,\alpha=4\)となり、\(\delta =\sqrt { 4+\varepsilon } -2 \)となる |
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| - | #hr | + | ***εδ論法の根拠 [#f71a5599] |
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| - | 資料：[[数学記号の表:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8]] | + | 極限の収束を一台の車と例えるならば、この機関は無限に小さくなっていくεをガソリンにして走る。この車が壊れずに半永久的に走り続けるために、その構造には保証が必要となる |
| | + | その構造的根拠は数学的帰納で保証されている（[[微積分と物理/数学的帰納]]）。数学的帰納は以下の論理式で定義されている |
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| - | 「 \(\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\) 」の部分に注目してみる | + | TODO |
| | + | 自然数\(n\in\mathbb{N}\) に依存する命題 \(p(n)\) に対して |
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| - | この部分を日本語に翻訳すると、「任意の正の数\(\varepsilon\)が与えられたとき、その\(\varepsilon\)に対応して・・・が成り立つ正の数\(\delta\)を見つけることが出来る。」となる | + | \( (\quad (p(1))\quad \wedge \quad (\quad (\forall k\in \mathbb{N})\quad (p(k)\Rightarrow p(k+1))\quad )\quad )\quad \Rightarrow \quad (\quad (\forall n\in \mathbb{N})\quad (p(n))\quad )\) |
| - | 注意するのは、この「\(\forall\) (全称限量記号 forall)」と「\(\exists\) (存在限量記号 exists)」という論理記号が集合を指しているという点と、この「対応して」という部分 | + | |
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| - | 「任意の正の数\(\varepsilon\)」とは集合を表している | + | が成り立つ。数学的帰納法が成り立つ最低条件がこれとなっている |
| - | 0でない0より大きい値の数すべて、そのような集合が\(\varepsilon\)だと言う | + | |
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| - | 続く対応という部分。数学で使う「対応」という単語は日常で使う同じ単語と意味が異なる | + | +数列の初期値(この場合\(n=1\))が関数\(P(1)\)で成り立つ事を示している |
| - | | + | +任意の自然数\(k\)に対して\(p(k) ⇒ p(k+1)\)が成り立つ事を示す。これは離散的に連続するすべての自然数を入力とした関数が同じ性質を持っている事を示している |
| - | 資料：[[対応 (数学):https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%BF%9C_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)]] | + | //（\(p(k)\)は仮定。\(p(k+1)\)が証明） |
| | + | +1.2.が同時に成り立つ事が示せることから任意の自然数\(n\)について\(p(n)\)が成り立つ事を結論づける |
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| - | 多価関数は入出力に集合を扱う関数みたいなものだと言える | + | ***ニュートンラフソンの極限、εδの観察 [#jd2faf10] |
| - | これはつまり、\(h:\varepsilon \rightarrow \delta \) となるような、0でない0より大きい\(\delta\)があると言っている | + | |
| - | この\(h\)という関数（写像）は論理式内で定義されていないので自分で探す必要がある | + | |
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