4: 2015-03-30 (月) 03:48:06 osinko  |
現: 2015-04-19 (日) 19:51:35 osinko |
| | 計算結果の値はベクトルにならずにスカラー（量:大きさ）になる事に注意。尚、ベクトルは太字でも表せるので以下のようにも書ける（今後はこの表記を利用する） | | 計算結果の値はベクトルにならずにスカラー（量:大きさ）になる事に注意。尚、ベクトルは太字でも表せるので以下のようにも書ける（今後はこの表記を利用する） |
| | \(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B } =x_{ A }\times x_{ B }+y_{ A }\times y_{ B }+z_{ A }\times z_{ B }\) | | \(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B } =x_{ A }\times x_{ B }+y_{ A }\times y_{ B }+z_{ A }\times z_{ B }\) |
| | + | #code(csharp){{ |
| | + | Vector3 a, b, dot; |
| | + | a = new Vector3 (1, 2, 3); |
| | + | b = new Vector3 (4, 5, 6); |
| | + | dot = Vector3.Dot (a, b); //unity標準の内積計算関数 |
| | + | }} |
| | このベクトルの内積は[[高校数学/余弦定理]]と密接な関係がある。単刀直入に言うと内積 \(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\) の計算結果は \(\left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos { \theta } \) と同一になる | | このベクトルの内積は[[高校数学/余弦定理]]と密接な関係がある。単刀直入に言うと内積 \(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\) の計算結果は \(\left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos { \theta } \) と同一になる |
| | この事を利用してベクトルの正射影などが可能となる。これは後に証明を行う | | この事を利用してベクトルの正射影などが可能となる。これは後に証明を行う |
| | この式の性質を利用する事により、ベクトル\(\mathbf { A }\)、\(\mathbf { B }\)の互いの方向の関係を内積計算することで知る事ができる | | この式の性質を利用する事により、ベクトル\(\mathbf { A }\)、\(\mathbf { B }\)の互いの方向の関係を内積計算することで知る事ができる |
| | | | |
| - | -\(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\)が正の場合、∠ABつまりθは+-90°以内と判断できる | + | -&font(Red){\(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\)が正の場合、∠ABつまりθは+-90°以内と判断できる}; |
| - | -\(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\) が0の場合、ベクトルAとBは直交関係にある | + | -&font(Red){\(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\) が0の場合、ベクトルAとBは直交関係にある}; |
| - | -\(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\)が負の場合、∠ABつまりθは+-90°以上と判断できる | + | -&font(Red){\(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\)が負の場合、∠ABつまりθは+-90°以上と判断できる}; |
| | | | |
| | これは式の右辺に \(\cos { \theta } \)がある事に起因する。ゲームコードでは視線を\(\mathbf { A }\)。主人公から見た敵の存在する方向ベクトルを\(\mathbf { B }\)とした時、この性質を利用する事により敵が視界前方にいるか。背後にいるかが判断できる | | これは式の右辺に \(\cos { \theta } \)がある事に起因する。ゲームコードでは視線を\(\mathbf { A }\)。主人公から見た敵の存在する方向ベクトルを\(\mathbf { B }\)とした時、この性質を利用する事により敵が視界前方にいるか。背後にいるかが判断できる |
| | | | |
| - | **証明 [#o261bc48] | + | **内積の証明 [#o261bc48] |
| | + | #jsmath |
| | 内積 \(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\) の計算結果は \(\left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos { \theta } \) と同一になる事の証明 | | 内積 \(\mathbf { A } \cdot \mathbf { B }\) の計算結果は \(\left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos { \theta } \) と同一になる事の証明 |
| | (ベクトルとスカラーが式内で混じるので混乱しないようにする事。特に内積の計算中はベクトル扱いだが計算後はスカラーになっている点に留意) | | (ベクトルとスカラーが式内で混じるので混乱しないようにする事。特に内積の計算中はベクトル扱いだが計算後はスカラーになっている点に留意) |
| | | | |
| | 三角形を構成する３つのベクトル\(\mathbf{abc}\)を描く | | 三角形を構成する３つのベクトル\(\mathbf{abc}\)を描く |
| - | この\(\mathbf{c}\)は \(\mathbf{c=b-a}\) により表せる | + | &ref(dot1.png); |
| | + | このベクトル\(\mathbf{c}\)は \(\mathbf{c=b-a}\) により表せる |
| | | | |
| - | この\(\mathbf{c}\)を三平方の定理により大きさを導く式は | + | この\(\mathbf{c}\)を三平方の定理によりベクトルのスカラー（大きさ）を導く式は |
| | \(\left| \mathbf{c} \right| =\sqrt { { (\mathbf{b-a}) }^{ 2 } }\) | | \(\left| \mathbf{c} \right| =\sqrt { { (\mathbf{b-a}) }^{ 2 } }\) |
| | \(\rightarrow \left| \mathbf{c} \right| =\sqrt { \mathbf{b\cdot b-2a\cdot b+a\cdot a} } \) | | \(\rightarrow \left| \mathbf{c} \right| =\sqrt { \mathbf{b\cdot b-2a\cdot b+a\cdot a} } \) |
| | | | |
| | \(\mathbf{a\cdot b}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right|\cos { C } \) | | \(\mathbf{a\cdot b}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right|\cos { C } \) |
| | + | |
| | + | #hr |
| | + | |
| | + | 上記のやりかた以外に下記のやり方もある |
| | + | |
| | + | \(\mathbf{a}=\left( \begin{matrix} { x }_{ a } \\ y_{ a } \\ { z }_{ a } \end{matrix} \right) \quad ,\quad \mathbf{b}=\left( \begin{matrix} { x }_{ b } \\ y_{ b } \\ { z }_{ b } \end{matrix} \right) \quad ,\quad \mathbf{c=b-a}=\left( \begin{matrix} { x }_{ b }-{ x }_{ a } \\ y_{ b }-{ y }_{ a } \\ { z }_{ b }-{ z }_{ a } \end{matrix} \right) \\ \\ \left| \mathbf{c} \right| =\sqrt { { \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right) }^{ 2 }+{ \left( y_{ b }-{ y }_{ a } \right) }^{ 2 }+{ \left( { z }_{ b }-{ z }_{ a } \right) }^{ 2 } } \quad \rightarrow { \quad \left| \mathbf{c} \right| }^{ 2 }={ \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right) }^{ 2 }+{ \left( y_{ b }-{ y }_{ a } \right) }^{ 2 }+{ \left( { z }_{ b }-{ z }_{ a } \right) }^{ 2 }\\ \\ { \left| \mathbf{c} \right| }^{ 2 }={ \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right) }^{ 2 }+{ \left( y_{ b }-{ y }_{ a } \right) }^{ 2 }+{ \left( { z }_{ b }-{ z }_{ a } \right) }^{ 2 }\\ \quad \quad \quad ={ x }_{ b }^{ 2 }-2{ x }_{ a }{ x }_{ b }+{ x }_{ a }^{ 2 }+{ y }_{ b }^{ 2 }-2{ y }_{ a }y_{ b }+{ y }_{ a }^{ 2 }+{ z }_{ b }^{ 2 }-2z_{ a }z_{ b }+{ z }_{ a }^{ 2 }\\ \quad \quad \quad ={ x }_{ a }^{ 2 }+{ y }_{ a }^{ 2 }+{ z }_{ a }^{ 2 }\quad +\quad { x }_{ b }^{ 2 }+{ y }_{ b }^{ 2 }+{ z }_{ b }^{ 2 }\quad -2\left( { x }_{ a }{ x }_{ b }+{ y }_{ a }y_{ b }+z_{ a }z_{ b } \right) \\ \quad \quad \quad =\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\\ \\ \mathbf{r}\cdot \mathbf{r}={ \left| \mathbf{r} \right| }^{ 2 }なので{ \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 }{ +\left| \mathbf{b} \right| }^{ 2 }-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\) |
| | + | |
| | + | #hr |
| | + | |
| | + | ＜補足＞ |
| | + | \({ \mathbf{A} }\cdot { \mathbf{B} }=\left| { \mathbf{A} } \right| \left| { \mathbf{B} } \right| \cos { \theta } \quad\) の式を変形すると \(\displaystyle \quad \cos { \theta } =\frac { { \mathbf{A} }\cdot { \mathbf{B} } }{ \left| { \mathbf{A} } \right| \left| { \mathbf{B} } \right| } \quad \) となる。実際にcosθの値が求められるかunityで試してみる |
| | + | |
| | + | #code(csharp){{ |
| | + | using UnityEngine; |
| | + | using System.Collections; |
| | + | |
| | + | public class VectorDot1 : MonoBehaviour |
| | + | { |
| | + | Vector3 vec1, vec2; |
| | + | float angle; |
| | + | void Start () |
| | + | { |
| | + | vec1 = new Vector3 (3, 0, 0); |
| | + | vec2 = new Vector3 (5, 0, 0); |
| | + | vec1 = Quaternion.AngleAxis (30, Vector3.forward) * vec1; |
| | + | angle = Vector3.Dot (vec1, vec2) / (vec1.magnitude * vec2.magnitude); |
| | + | |
| | + | print ("a・b/(|a||b|) = cosθ = " + angle); |
| | + | } |
| | + | } |
| | + | }} |
| | + | |
| | + | 出力: a・b/(|a||b|) = cosθ = 0.8660254 |
| | + | コードではvec1をvec2に対して+30°傾けている。計算結果は0.8660254 となり、これはcos(30°)と一致する |
| | + | つまり斜辺の長さ１。隣辺の長さcosθの計算が出来た事を意味する |
| | + | 証明どおりに内積の値の中にcosθが内包されている事が確認出来た |
| | + | |
| | + | **正射影 [#ad6e31b3] |
| | + | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を正射影したベクトル\(\mathbf{p}\)を求めたい |
| | + | &ref(proj2.png); |
| | + | この場合の射影ベクトルを求める式は以下になる |
| | + | &font(Red){\(\mathbf{ p }=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; |
| | + | |
| | + | この正射影の計算はルート（平方根）の計算が混じっていないので非常に高速に動作する |
| | + | |
| | + | #code(csharp){{ |
| | + | using UnityEngine; |
| | + | using System.Collections; |
| | + | |
| | + | public class projection1 : MonoBehaviour |
| | + | { |
| | + | Vector3 a, b, proj, proj2; |
| | + | |
| | + | void Start () |
| | + | { |
| | + | a = new Vector3 (10, 4); |
| | + | b = new Vector3 (3, 7); |
| | + | |
| | + | proj = Vector3.Project (b, a); |
| | + | proj2 = (Vector3.Dot (a, b) / Vector3.Dot (a, a)) * a; |
| | + | |
| | + | print ("正射影unity標準機能＝" + proj + " 正射影自分で計算＝" + proj2); |
| | + | } |
| | + | } |
| | + | }} |
| | + | |
| | + | **正射影の証明 [#acf96044] |
| | + | #jsmath |
| | + | まず、正射影の式を作る |
| | + | &ref(proj1.png); |
| | + | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を正射影したベクトル\(\mathbf{p}\)を求めたい。この際、\(\mathbf{b}\)から\(\mathbf{p}\)に向けてのベクトルは\(\mathbf{p-b}\)で表せる。 |
| | + | このベクトルは投影されるベクトル\(\mathbf{a}\)と直交関係にあるので |
| | + | |
| | + | \(\left(\mathbf{ p-b} \right) \cdot \mathbf{a} =0\) ・・・① |
| | + | |
| | + | と表せる。&font(Red){（★：直交の関係を持つふたつのベクトル\(\mathbf{A}\)と\(\mathbf{B}\)は「\(\mathbf{A \cdot B}=0\)」という内積の方程式で表せる。これは非常に重要な計算テクニックとなっている）}; |
| | + | また、ベクトル\(\mathbf{p}\)はベクトル\(\mathbf{a}\)と方向を同じとし未知数\(x\)スカラー倍された\(\mathbf{a}\)と言える。従って |
| | + | |
| | + | \(\mathbf{p}=x\mathbf{a}\) ・・・② |
| | + | |
| | + | となる。この②を①に代入すると |
| | + | |
| | + | \(\left( x\mathbf{a-b} \right) \cdot \mathbf{a}=0\) となり、これを展開すると \(x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a-a}\cdot \mathbf{b}=0\quad \rightarrow \quad x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\quad \rightarrow \quad x=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} }\) となる。\(x\)の式が判明したのでこれを②に代入すると |
| | + | |
| | + | &font(Red){\(\mathbf{p}=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; という正射影の式が完成する |
| | + | |
| | + | #hr |
| | + | |
| | + | この式が何故正射影になるのかを調べてみる |
| | + | |
| | + | \(\mathbf{p}=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\) |
| | + | |
| | + | まず、内積は\(\mathbf{a\cdot b}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right|\cos { C }\)だった。又、\({ \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 }=\mathbf{a\cdot a}\)であるので式は以下のように変形される |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\mathbf{p}=\frac { \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } }{ { \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 } } \mathbf{a}\) この式を整理していくと... |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ { \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 } } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{a} \right| } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| }\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| } \)はベクトル\(\mathbf{a}\)の単位ベクトル\({ \mathbf{e} }_{ a }\)となる |
| | + | |
| | + | &font(Blue){\(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \times { \mathbf{e} }_{ a }\)}; |
| | + | |
| | + | この最後の状態まで変形させると式の意味がわかりやすくなる。つまり\(\left| \mathbf{b} \right|\)スカラー倍された\(\cos { \theta }\)が単位ベクトル\( {\mathbf{e} }_{ a }\)に掛算されている。これが正射影の正体となっている |
| | + | |
| | + | |
| | + | #navi |
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