5: 2015-03-31 (火) 22:10:30 osinko  |
現: 2015-04-19 (日) 19:51:35 osinko |
| | | | |
| | ＜補足＞ | | ＜補足＞ |
| - | \({ \mathbf{A} }\cdot { \mathbf{B} }=\left| { \mathbf{A} } \right| \left| { \mathbf{B} } \right| \cos { \theta } \quad\) の式を変形すると \(\quad \cos { \theta } =\frac { { \mathbf{A} }\cdot { \mathbf{B} } }{ \left| { \mathbf{A} } \right| \left| { \mathbf{B} } \right| } \quad \) となる。実際にcosθの値が求められるかunityで試してみる | + | \({ \mathbf{A} }\cdot { \mathbf{B} }=\left| { \mathbf{A} } \right| \left| { \mathbf{B} } \right| \cos { \theta } \quad\) の式を変形すると \(\displaystyle \quad \cos { \theta } =\frac { { \mathbf{A} }\cdot { \mathbf{B} } }{ \left| { \mathbf{A} } \right| \left| { \mathbf{B} } \right| } \quad \) となる。実際にcosθの値が求められるかunityで試してみる |
| | | | |
| | #code(csharp){{ | | #code(csharp){{ |
| | | | |
| | 出力: a・b/(|a||b|) = cosθ = 0.8660254 | | 出力: a・b/(|a||b|) = cosθ = 0.8660254 |
| - | コードではvec1をvec2に対して+30°傾けている。計算結果は0.8660254 となり、これはcos(30°)と一致する。つまり斜辺の長さ１。隣辺の長さcosθの計算が出来た事を意味する。証明どおりに内積の値の中にcosθが内包されている事が確認出来た | + | コードではvec1をvec2に対して+30°傾けている。計算結果は0.8660254 となり、これはcos(30°)と一致する |
| | + | つまり斜辺の長さ１。隣辺の長さcosθの計算が出来た事を意味する |
| | + | 証明どおりに内積の値の中にcosθが内包されている事が確認出来た |
| | | | |
| | **正射影 [#ad6e31b3] | | **正射影 [#ad6e31b3] |
| - | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を射影した\(\mathbf{p}\)を求めたい。この場合の射影ベクトルを求める式は以下になる | + | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を正射影したベクトル\(\mathbf{p}\)を求めたい |
| | + | &ref(proj2.png); |
| | + | この場合の射影ベクトルを求める式は以下になる |
| | &font(Red){\(\mathbf{ p }=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; | | &font(Red){\(\mathbf{ p }=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; |
| | | | |
| | | | |
| | **正射影の証明 [#acf96044] | | **正射影の証明 [#acf96044] |
| | + | #jsmath |
| | + | まず、正射影の式を作る |
| | + | &ref(proj1.png); |
| | + | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を正射影したベクトル\(\mathbf{p}\)を求めたい。この際、\(\mathbf{b}\)から\(\mathbf{p}\)に向けてのベクトルは\(\mathbf{p-b}\)で表せる。 |
| | + | このベクトルは投影されるベクトル\(\mathbf{a}\)と直交関係にあるので |
| | + | |
| | + | \(\left(\mathbf{ p-b} \right) \cdot \mathbf{a} =0\) ・・・① |
| | + | |
| | + | と表せる。&font(Red){（★：直交の関係を持つふたつのベクトル\(\mathbf{A}\)と\(\mathbf{B}\)は「\(\mathbf{A \cdot B}=0\)」という内積の方程式で表せる。これは非常に重要な計算テクニックとなっている）}; |
| | + | また、ベクトル\(\mathbf{p}\)はベクトル\(\mathbf{a}\)と方向を同じとし未知数\(x\)スカラー倍された\(\mathbf{a}\)と言える。従って |
| | + | |
| | + | \(\mathbf{p}=x\mathbf{a}\) ・・・② |
| | + | |
| | + | となる。この②を①に代入すると |
| | + | |
| | + | \(\left( x\mathbf{a-b} \right) \cdot \mathbf{a}=0\) となり、これを展開すると \(x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a-a}\cdot \mathbf{b}=0\quad \rightarrow \quad x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\quad \rightarrow \quad x=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} }\) となる。\(x\)の式が判明したのでこれを②に代入すると |
| | + | |
| | + | &font(Red){\(\mathbf{p}=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; という正射影の式が完成する |
| | + | |
| | + | #hr |
| | + | |
| | + | この式が何故正射影になるのかを調べてみる |
| | + | |
| | + | \(\mathbf{p}=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\) |
| | + | |
| | + | まず、内積は\(\mathbf{a\cdot b}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right|\cos { C }\)だった。又、\({ \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 }=\mathbf{a\cdot a}\)であるので式は以下のように変形される |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\mathbf{p}=\frac { \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } }{ { \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 } } \mathbf{a}\) この式を整理していくと... |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ { \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 } } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{a} \right| } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| }\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| } \)はベクトル\(\mathbf{a}\)の単位ベクトル\({ \mathbf{e} }_{ a }\)となる |
| | + | |
| | + | &font(Blue){\(\displaystyle\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \times { \mathbf{e} }_{ a }\)}; |
| | + | |
| | + | この最後の状態まで変形させると式の意味がわかりやすくなる。つまり\(\left| \mathbf{b} \right|\)スカラー倍された\(\cos { \theta }\)が単位ベクトル\( {\mathbf{e} }_{ a }\)に掛算されている。これが正射影の正体となっている |
| | + | |
| | + | |
| | + | #navi |
![[PukiWiki]](http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
