5: 2015-03-31 (火) 22:10:30 osinko |
6: 2015-04-01 (水) 00:58:17 osinko |
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| 出力: a・b/(|a||b|) = cosθ = 0.8660254 | | 出力: a・b/(|a||b|) = cosθ = 0.8660254 |
- | コードではvec1をvec2に対して+30°傾けている。計算結果は0.8660254 となり、これはcos(30°)と一致する。つまり斜辺の長さ1。隣辺の長さcosθの計算が出来た事を意味する。証明どおりに内積の値の中にcosθが内包されている事が確認出来た | + | コードではvec1をvec2に対して+30°傾けている。計算結果は0.8660254 となり、これはcos(30°)と一致する |
| + | つまり斜辺の長さ1。隣辺の長さcosθの計算が出来た事を意味する |
| + | 証明どおりに内積の値の中にcosθが内包されている事が確認出来た |
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| **正射影 [#ad6e31b3] | | **正射影 [#ad6e31b3] |
- | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を射影した\(\mathbf{p}\)を求めたい。この場合の射影ベクトルを求める式は以下になる | + | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を正射影したベクトル\(\mathbf{p}\)を求めたい |
| + | &ref(proj2.png); |
| + | この場合の射影ベクトルを求める式は以下になる |
| &font(Red){\(\mathbf{ p }=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; | | &font(Red){\(\mathbf{ p }=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; |
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| **正射影の証明 [#acf96044] | | **正射影の証明 [#acf96044] |
| + | #jsmath |
| + | まず、正射影の式を作る |
| + | &ref(proj1.png); |
| + | \(\mathbf{a}\)に\(\mathbf{b}\)を正射影したベクトル\(\mathbf{p}\)を求めたい。この際、\(\mathbf{b}\)から\(\mathbf{p}\)に向けてのベクトルは\(\mathbf{p-b}\)で表せる。 |
| + | このベクトルは投影されるベクトル\(\mathbf{a}\)と直交関係にあるので |
| + | |
| + | \(\left(\mathbf{ p-b} \right) \cdot \mathbf{a} =0\) ・・・① |
| + | |
| + | と表せる。&font(Red){(★:直交の関係を持つふたつのベクトル\(\mathbf{A}\)と\(\mathbf{B}\)は「\(\mathbf{A \cdot B}=0\)」という内積の方程式で表せる。これは非常に重要な計算テクニックとなっている)}; |
| + | また、ベクトル\(\mathbf{p}\)はベクトル\(\mathbf{a}\)と方向を同じとし未知数\(x\)スカラー倍された\(\mathbf{a}\)と言える。従って |
| + | |
| + | \(\mathbf{p}=x\mathbf{a}\) ・・・② |
| + | |
| + | となる。この②を①に代入すると |
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| + | \(\left( x\mathbf{a-b} \right) \cdot \mathbf{a}=0\) となり、これを展開すると \(x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a-a}\cdot \mathbf{b}=0\quad \rightarrow \quad x\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\quad \rightarrow \quad x=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} }\) となる。\(x\)の式が判明したのでこれを②に代入すると |
| + | |
| + | &font(Red){\(\mathbf{p}=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\)}; という正射影の式が完成する |
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| + | #hr |
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| + | この式が何故正射影になるのかを調べてみる |
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| + | \(\mathbf{p}=\frac { \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} }{ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} } \mathbf{a}\) |
| + | |
| + | まず、内積は\(\mathbf{a\cdot b}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right|\cos { C }\)だった。又、\({ \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 }=\mathbf{a\cdot a}\)であるので式は以下のように変形される |
| + | |
| + | \(\mathbf{p}=\frac { \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } }{ { \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 } } \mathbf{a}\) この式を整理していくと... |
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| + | \(\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ { \left| \mathbf{a} \right| }^{ 2 } } \) |
| + | \(\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{a} \right| } \) |
| + | \(\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| }\) |
| + | |
| + | \(\frac { \mathbf{a} }{ \left| \mathbf{a} \right| } \)はベクトル\(\mathbf{a}\)の単位ベクトル\({ \mathbf{e} }_{ a }\)となる |
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| + | &font(Blue){\(\rightarrow \quad \mathbf{p}=\left| \mathbf{b} \right| \cos { \theta } \times { \mathbf{e} }_{ a }\)}; |
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| + | この最後の状態まで変形させると式の意味がわかりやすくなる。つまり\(\left| \mathbf{b} \right|\)スカラー倍された\(\cos { \theta }\)が単位ベクトル\( {\mathbf{e} }_{ a }\)に掛算されている。これが正射影の正体となっている |
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| + | #navi |