高校数学​/三角関数の加法定理 のバックアップの現在との差分(No.1)

Unity学習帳2冊目高校数学 / 三角関数の加法定理 のバックアップの現在との差分(No.1)
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1: 2015-03-30 (月) 01:25:11 osinko ソース 現: 2015-04-02 (木) 01:46:19 osinko ソース
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#jsmath #jsmath
#contents #contents
 +**三角関数の加法定理 [#i9e84d3a]
 +#jsmath
 +三角関数は\(\sin { (\theta +\Delta \theta ) }\) が単純な加算である\(\sin { \theta + } \sin { \Delta \theta }\)とはならない性質がある
 +
 +\(\sin { 60 } +\sin { 30 } \neq \sin { (30+60) } \quad \rightarrow \quad 0.866...+0.5\quad \neq \quad 1\)
 +
 +従って関数 \(f\left( \alpha +\beta  \right) \)を \(f\left( \alpha \right) \)、\(f\left( \beta \right)\)で表す定理が必要になります。今回は加算減算なので加法定理となる
 +
 +&font(Red){\(\sin { (\alpha +\beta ) } =\sin { \alpha \cos { \beta  } +\cos { \alpha  } \sin { \beta  }  } \\ \sin { (\alpha -\beta ) } =\sin { \alpha \cos { \beta  } -\cos { \alpha  } \sin { \beta  }  } \\ \cos { (\alpha +\beta )= } \cos { \alpha  } \cos { \beta  } -\sin { \alpha  } \sin { \beta  } \\ \cos { (\alpha -\beta )= } \cos { \alpha  } \cos { \beta  } +\sin { \alpha  } \sin { \beta  } \)&br;};
 +
 +**単純な加算とならない確認をunityでしてみる [#lec83f5b]
 +
 +＜サンプルコード＞
 +#code(csharp){{
 +using UnityEngine;
 +using System.Collections;
 +
 +public class SinCos1 : MonoBehaviour
 +{
 +     Vector2 vecA, vecB, tesB, VecAdditionTheorem;
 +       float alpha, beta;
 +       void Start ()
 +       {
 +               alpha = 30 * Mathf.Deg2Rad;
 +               beta = 15 * Mathf.Deg2Rad;
 +               //α位置の頂点を作成
 +               vecA = new Vector2 (Mathf.Cos (alpha), Mathf.Sin (alpha));
 +
 +             //ここでvecAに単純に三角関数を加算してみる（これは正しい値にならない）
 +               tesB = new Vector2 (vecA.x + Mathf.Cos (beta), vecA.y + Mathf.Sin (beta));
 +
 +             //こちらは本来あるべき位置の計算
 +               vecB = new Vector2 (Mathf.Cos (alpha + beta), Mathf.Sin (alpha + beta));
 +
 +             //加法定理を使って計算
 +               VecAdditionTheorem = new Vector2 (vecA.x * Mathf.Cos (beta) - vecA.y * Mathf.Sin (beta),
 +                                         vecA.y * Mathf.Cos (beta) + vecA.x * Mathf.Sin (beta));
 +       }
 +}
 +}}
 +デバック表示で変数の中身を確認してみる
 +&ref(d76823f310013d60f6bc3cca94cea626.png);
 +vecBとVecAdditionTheoremが同じ値になり、tesBはまったく見当違いの値になっている事が確認できる
 +
 +**証明1 [#n59379b5]
 +オーソドックスな幾何図形の性質と三角関数を利用した証明
 +
 +**証明2 [#jb9b6639]
 +#jsmath
 +三角関数と三平方の定理の性質を利用した証明
 +&ref(e239abadd0c5858e1c8754e47fbdb7c0.png);
 +上記の図を基に証明を始める
 +&ref(f1ab422d6933310a8238f5c9af6d7f24.png);
 +これによりcos側の証明が出来た。次にsin側の証明を行う。これには余角の公式、負角の公式を利用する
 +&ref(54cbcebedee67ad274e0f911ccba58ac.png);
 +これによりsin側の証明が出来た
 +
 +**証明3 [#eaefae57]
 +#jsmath
 +こちらは単位円やベクトル、三角関数の性質を利用した証明
 +
 +高校数学/三平方の定理とベクトルの二点間の距離を利用する
 +&ref(d955068efecaac12f78f861875464f47.png);
 +単位円上の同じ大きさを持つふたつの線分ベクトル\(\overrightarrow { AB }  \)と\(\overrightarrow { CD }  \)、このそれぞれの関係を式で表すと
 +
 +\({ \left| \overrightarrow { AB }  \right|  }^{ 2 }={ \left( \cos { (\alpha +\beta ) } -1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sin { (\alpha +\beta ) } -0 \right)  }^{ 2 }\\ { \left| \overrightarrow { CD }  \right|  }^{ 2 }={ \left( \cos { \alpha  } -\cos { \beta  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sin { \alpha  } -\sin { \beta  }  \right)  }^{ 2 }\)
 +
 +このふたつのベクトルの式を展開する
 +
 +\({ \left| \overrightarrow { AB }  \right|  }^{ 2 }={ \cos ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) }  }-2\cos { (\alpha +\beta ) } +1+\sin ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) } \\ \quad \quad \quad =2-2\cos { (\alpha +\beta ) } \\ { \left| \overrightarrow { CD }  \right|  }^{ 2 }=\cos ^{ 2 }{ \alpha  } -2\cos { \alpha  } \cos { \beta  } +\cos ^{ 2 }{ \beta  } +\sin ^{ 2 }{ \alpha  } +2\sin { \alpha  } \sin { \beta  } +\sin ^{ 2 }{ \beta  } \\ \quad \quad \quad =2-2(\cos { \alpha  } \cos { \beta  } -\sin { \alpha  } \sin { \beta  } )\)
 +
 +ふたつのベクトルは同じ大きさなので
 +
 +\( { \left| \overrightarrow { AB }  \right|  }^{ 2 }={ \left| \overrightarrow { CD }  \right|  }^{ 2 }\\ \rightarrow \quad 2-2\cos { (\alpha +\beta ) } =2-2(\cos { \alpha  } \cos { \beta  } -\sin { \alpha  } \sin { \beta  } )\\ \rightarrow \quad \cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha  } \cos { \beta  } -\sin { \alpha  } \sin { \beta  } \)
 +
 +三角形OAB、OCDに注目すると三角形は⊿β°回転している。また頂点BDに注目すると⊿α+β°となる
 +これによりcos側の証明が出来た。加法と同時に減算の方も求める。これには[[負角の公式>高校数学/三角関数#s9eafcd0]]を利用する
 +
 +\(\cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha  } \cos { \beta  } -\sin { \alpha  } \sin { \beta  } \)
 +\(\beta\) を\(-\beta\) にする
 +
 +負角の公式\(\cos { (-\theta ) } =\cos { \theta  } ,\sin { (-\theta ) } =-\sin { \theta  }\) より
 +
 +\(\cos { (\alpha -\beta ) } =\cos { \alpha  } \cos { (-\beta ) } -\sin { \alpha  } \sin { (-\beta ) } \\ \rightarrow \cos { (\alpha -\beta ) } =\cos { \alpha  } \cos { \beta  } +\sin { \alpha  } \sin { \beta  } \)
 +
 +#hr
 +
 +次にsin側の証明を行う。これには[[余角の公式>高校数学/三角関数#s9eafcd0]]を利用する
 +
 +余角の公式より\(\sin { \theta  } =\cos { \left( \frac { \pi  }{ 2 } -\theta  \right)  } \)を利用する
 +
 +\(\sin { \left( \alpha +\beta  \right)  } =\cos { \left( \frac { \pi  }{ 2 } -\left( \alpha +\beta  \right)  \right)  } =\cos { \left\{ \left( \frac { \pi  }{ 2 } -\alpha  \right) +\left( -\beta  \right)  \right\}  } \)
 +
 +この式を　\(\cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha  } \cos { \beta  } -\sin { \alpha  } \sin { \beta  }\)　に代入する
 +
 +\(\sin { \left( \alpha +\beta  \right)  } =\cos { \left\{ \left( \frac { \pi  }{ 2 } -\alpha  \right) +\left( -\beta  \right)  \right\} = } \cos { \left( \frac { \pi  }{ 2 } -\alpha  \right)  } \cos { \left( -\beta  \right)  } -\sin { \left( \frac { \pi  }{ 2 } -\alpha  \right)  } \sin { \left( -\beta  \right)  } \)
 +
 +余角の公式より
 +\(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta  \right)  } =\sin { \alpha  } \cos { \left( -\beta  \right)  } -\cos { \alpha  } \sin { \left( -\beta  \right)  } \)
 +\(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta  \right)  } =\sin { \alpha  } \cos { \beta  } +\cos { \alpha  } \sin { \beta  }  \)
 +これでsinの証明が出来た
 +
 +#navi
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