2: 2015-03-30 (月) 02:23:36 osinko  |
3: 2015-03-31 (火) 00:52:59 osinko |
| | #contents | | #contents |
| | **三角関数の加法定理 [#i9e84d3a] | | **三角関数の加法定理 [#i9e84d3a] |
| | + | #jsmath |
| | 三角関数は\(\sin { (\theta +\Delta \theta ) }\) が単純な加算である\(\sin { \theta + } \sin { \Delta \theta }\)とはならない性質がある | | 三角関数は\(\sin { (\theta +\Delta \theta ) }\) が単純な加算である\(\sin { \theta + } \sin { \Delta \theta }\)とはならない性質がある |
| | | | |
| | 従って関数 \(f\left( \alpha +\beta \right) \)を \(f\left( \alpha \right) \)、\(f\left( \beta \right)\)で表す定理が必要になります。今回は加算減算なので加法定理となる | | 従って関数 \(f\left( \alpha +\beta \right) \)を \(f\left( \alpha \right) \)、\(f\left( \beta \right)\)で表す定理が必要になります。今回は加算減算なので加法定理となる |
| | | | |
| - | \(\sin { (\alpha +\beta ) } =\sin { \alpha \cos { \beta } +\cos { \alpha } \sin { \beta } } \\ \sin { (\alpha -\beta ) } =\sin { \alpha \cos { \beta } -\cos { \alpha } \sin { \beta } } \\ \cos { (\alpha +\beta )= } \cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \\ \cos { (\alpha -\beta )= } \cos { \alpha } \cos { \beta } +\sin { \alpha } \sin { \beta } \) | + | &font(Red){\(\sin { (\alpha +\beta ) } =\sin { \alpha \cos { \beta } +\cos { \alpha } \sin { \beta } } \\ \sin { (\alpha -\beta ) } =\sin { \alpha \cos { \beta } -\cos { \alpha } \sin { \beta } } \\ \cos { (\alpha +\beta )= } \cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \\ \cos { (\alpha -\beta )= } \cos { \alpha } \cos { \beta } +\sin { \alpha } \sin { \beta } \)&br;}; |
| | | | |
| | **単純な加算とならない確認をunityでしてみる [#lec83f5b] | | **単純な加算とならない確認をunityでしてみる [#lec83f5b] |
| | | | |
| | **証明２ [#eaefae57] | | **証明２ [#eaefae57] |
| | + | #jsmath |
| | こちらは単位円やベクトル、三角関数の性質を利用した証明 | | こちらは単位円やベクトル、三角関数の性質を利用した証明 |
| | | | |
| | 高校数学/三平方の定理とベクトルの二点間の距離を利用する | | 高校数学/三平方の定理とベクトルの二点間の距離を利用する |
| | &ref(d955068efecaac12f78f861875464f47.png); | | &ref(d955068efecaac12f78f861875464f47.png); |
| | + | 単位円上の同じ大きさを持つふたつの線分ベクトル\(\overrightarrow { AB } \)と\(\overrightarrow { CD } \)、このそれぞれの関係を式で表すと |
| | + | |
| | + | \(\overrightarrow { AB } ={ \left( \cos { (\alpha +\beta ) } -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { (\alpha +\beta ) } -0 \right) }^{ 2 }\\ \overrightarrow { CD } ={ \left( \cos { \alpha } -\cos { \beta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { \alpha } -\sin { \beta } \right) }^{ 2 }\) |
| | + | |
| | + | \(\overrightarrow { AB } ={ \cos ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) } }-2\cos { (\alpha +\beta ) } +1+\sin ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) } \\ \quad \quad \quad =2-2\cos { (\alpha +\beta ) } \\ \overrightarrow { CD } =\cos ^{ 2 }{ \alpha } -2\cos { \alpha } \cos { \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } +\sin ^{ 2 }{ \alpha } +2\sin { \alpha } \sin { \beta } +\sin ^{ 2 }{ \beta } \\ \quad \quad \quad =2-2(\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } )\) |
| | + | |
| | + | \(\overrightarrow { AB } =\overrightarrow { CD } \\ \rightarrow \quad 2-2\cos { (\alpha +\beta ) } =2-2(\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } )\\ \rightarrow \quad \cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \) |
| | + | |
| | 三角形OAB、OCDに注目すると三角形は⊿β°回転している。また頂点BDに注目すると⊿α+β°となる | | 三角形OAB、OCDに注目すると三角形は⊿β°回転している。また頂点BDに注目すると⊿α+β°となる |
| | + | これによりcos側の証明が出来た。加法と同時に減算の方も求める。これには負角の公式を利用する |
| | + | |
| | + | \(\cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \) |
| | + | \(\beta\) を\(-\beta\) にする |
| | + | |
| | + | 負角の公式\(\cos { (-\theta ) } =\cos { \theta } ,\sin { (-\theta ) } =-\sin { \theta }\) より |
| | + | |
| | + | \(\cos { (\alpha -\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { (-\beta ) } -\sin { \alpha } \sin { (-\beta ) } \\ \rightarrow \cos { (\alpha -\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } +\sin { \alpha } \sin { \beta } \) |
| | + | |
| | + | #hr |
| | + | |
| | + | 次にsin側の証明を行う。これには余角の公式を利用する |
| | + | |
| | + | 余角の公式より\(\sin { \theta } =\cos { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) } \)を利用する |
| | + | |
| | + | \(\sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\cos { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\left( \alpha +\beta \right) \right) } =\cos { \left\{ \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) +\left( -\beta \right) \right\} } \) |
| | + | |
| | + | \(\alpha =\left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) \quad ,\quad \beta =\left( -\beta \right) \quad \)として \(\quad \cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \quad \) に代入する |
| | | | |
| - | これによりcos側の証明が出来た。次にsin側の証明を行う。これには&link(余角の公式、負角の公式){三角比と三角関数}を利用する | + | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\cos { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) } \cos { \left( -\beta \right) } -\sin { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) } \sin { \left( -\beta \right) } \) |
| | | | |
| | + | 余角の公式より |
| | + | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\sin { \alpha } \cos { \left( -\beta \right) } -\cos { \alpha } \sin { \left( -\beta \right) } \) |
| | + | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\sin { \alpha } \cos { \beta } +\cos { \alpha } \sin { \beta } \) |
| | これでsinの証明が出来た | | これでsinの証明が出来た |
| | | | |
| | #navi | | #navi |
![[PukiWiki]](http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
