4: 2015-03-31 (火) 03:48:39 osinko  |
現: 2015-04-02 (木) 01:46:19 osinko |
| | vecBとVecAdditionTheoremが同じ値になり、tesBはまったく見当違いの値になっている事が確認できる | | vecBとVecAdditionTheoremが同じ値になり、tesBはまったく見当違いの値になっている事が確認できる |
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| - | **証明 [#jb9b6639] | + | **証明1 [#n59379b5] |
| - | 図形と三角関数の性質を利用したオーソドックスな証明 | + | オーソドックスな幾何図形の性質と三角関数を利用した証明 |
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| - | **証明２ [#eaefae57] | + | **証明2 [#jb9b6639] |
| | + | #jsmath |
| | + | 三角関数と三平方の定理の性質を利用した証明 |
| | + | &ref(e239abadd0c5858e1c8754e47fbdb7c0.png); |
| | + | 上記の図を基に証明を始める |
| | + | &ref(f1ab422d6933310a8238f5c9af6d7f24.png); |
| | + | これによりcos側の証明が出来た。次にsin側の証明を行う。これには余角の公式、負角の公式を利用する |
| | + | &ref(54cbcebedee67ad274e0f911ccba58ac.png); |
| | + | これによりsin側の証明が出来た |
| | + | |
| | + | **証明3 [#eaefae57] |
| | #jsmath | | #jsmath |
| | こちらは単位円やベクトル、三角関数の性質を利用した証明 | | こちらは単位円やベクトル、三角関数の性質を利用した証明 |
| | 単位円上の同じ大きさを持つふたつの線分ベクトル\(\overrightarrow { AB } \)と\(\overrightarrow { CD } \)、このそれぞれの関係を式で表すと | | 単位円上の同じ大きさを持つふたつの線分ベクトル\(\overrightarrow { AB } \)と\(\overrightarrow { CD } \)、このそれぞれの関係を式で表すと |
| | | | |
| - | \(\overrightarrow { AB } ={ \left( \cos { (\alpha +\beta ) } -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { (\alpha +\beta ) } -0 \right) }^{ 2 }\\ \overrightarrow { CD } ={ \left( \cos { \alpha } -\cos { \beta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { \alpha } -\sin { \beta } \right) }^{ 2 }\) | + | \({ \left| \overrightarrow { AB } \right| }^{ 2 }={ \left( \cos { (\alpha +\beta ) } -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { (\alpha +\beta ) } -0 \right) }^{ 2 }\\ { \left| \overrightarrow { CD } \right| }^{ 2 }={ \left( \cos { \alpha } -\cos { \beta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { \alpha } -\sin { \beta } \right) }^{ 2 }\) |
| | | | |
| | このふたつのベクトルの式を展開する | | このふたつのベクトルの式を展開する |
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| - | \(\overrightarrow { AB } ={ \cos ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) } }-2\cos { (\alpha +\beta ) } +1+\sin ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) } \\ \quad \quad \quad =2-2\cos { (\alpha +\beta ) } \\ \overrightarrow { CD } =\cos ^{ 2 }{ \alpha } -2\cos { \alpha } \cos { \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } +\sin ^{ 2 }{ \alpha } +2\sin { \alpha } \sin { \beta } +\sin ^{ 2 }{ \beta } \\ \quad \quad \quad =2-2(\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } )\) | + | \({ \left| \overrightarrow { AB } \right| }^{ 2 }={ \cos ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) } }-2\cos { (\alpha +\beta ) } +1+\sin ^{ 2 }{ (\alpha +\beta ) } \\ \quad \quad \quad =2-2\cos { (\alpha +\beta ) } \\ { \left| \overrightarrow { CD } \right| }^{ 2 }=\cos ^{ 2 }{ \alpha } -2\cos { \alpha } \cos { \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } +\sin ^{ 2 }{ \alpha } +2\sin { \alpha } \sin { \beta } +\sin ^{ 2 }{ \beta } \\ \quad \quad \quad =2-2(\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } )\) |
| | | | |
| | ふたつのベクトルは同じ大きさなので | | ふたつのベクトルは同じ大きさなので |
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| - | \(\overrightarrow { AB } =\overrightarrow { CD } \\ \rightarrow \quad 2-2\cos { (\alpha +\beta ) } =2-2(\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } )\\ \rightarrow \quad \cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \) | + | \( { \left| \overrightarrow { AB } \right| }^{ 2 }={ \left| \overrightarrow { CD } \right| }^{ 2 }\\ \rightarrow \quad 2-2\cos { (\alpha +\beta ) } =2-2(\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } )\\ \rightarrow \quad \cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \) |
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| | 三角形OAB、OCDに注目すると三角形は⊿β°回転している。また頂点BDに注目すると⊿α+β°となる | | 三角形OAB、OCDに注目すると三角形は⊿β°回転している。また頂点BDに注目すると⊿α+β°となる |
| | \(\sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\cos { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\left( \alpha +\beta \right) \right) } =\cos { \left\{ \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) +\left( -\beta \right) \right\} } \) | | \(\sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\cos { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\left( \alpha +\beta \right) \right) } =\cos { \left\{ \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) +\left( -\beta \right) \right\} } \) |
| | | | |
| - | \(\alpha =\left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) \quad ,\quad \beta =\left( -\beta \right) \quad \)として \(\quad \cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta } \quad \) に代入する | + | この式を \(\cos { (\alpha +\beta ) } =\cos { \alpha } \cos { \beta } -\sin { \alpha } \sin { \beta }\) に代入する |
| | | | |
| - | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\cos { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) } \cos { \left( -\beta \right) } -\sin { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) } \sin { \left( -\beta \right) } \) | + | \(\sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\cos { \left\{ \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) +\left( -\beta \right) \right\} = } \cos { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) } \cos { \left( -\beta \right) } -\sin { \left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) } \sin { \left( -\beta \right) } \) |
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| | 余角の公式より | | 余角の公式より |
| | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\sin { \alpha } \cos { \left( -\beta \right) } -\cos { \alpha } \sin { \left( -\beta \right) } \) | | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\sin { \alpha } \cos { \left( -\beta \right) } -\cos { \alpha } \sin { \left( -\beta \right) } \) |
| - | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\sin { \alpha } \cos { \beta } +\cos { \alpha } \sin { \beta } \) | + | \(\rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta \right) } =\sin { \alpha } \cos { \beta } +\cos { \alpha } \sin { \beta } \) |
| | これでsinの証明が出来た | | これでsinの証明が出来た |
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