1: 2015-06-04 (木) 20:35:14 osinko  |
2: 2015-06-04 (木) 22:13:00 osinko |
| | TITLE:微分 | | TITLE:微分 |
| - | ＜メモ＞ | + | ＜メモ（考察中）＞ |
| | + | #jsmath |
| | 微分を利用して平方根を求める | | 微分を利用して平方根を求める |
| | + | &ref(root_diff.png); |
| | + | |
| | + | 微分の基礎的な式 |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\ f'(a)=\lim _{ b→a }{ \frac { f(b)-f(a) }{ b-a } } \) |
| | + | |
| | + | この式に上グラフ図の関係を当てはめて考えると以下の連立方程式を作る事が出来る |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\ \begin{cases} f'({ x }_{ 1 })=\lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ \frac { f({ x }_{ 0 })-f({ x }_{ 1 }) }{ { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } } } \quad \cdots ① \\ y=f({ x }_{ 1 })=0 \\ y=f(x)={ x }^{ 2 }-C \end{cases}\) |
| | + | |
| | + | この連立方程式を\({x}_{1}\)に対して解くと\({ x }_{ 1 }\ge \pm \sqrt { C } \)となる。以下で実際に解いてみる。仮に\(C\)を\(3\)として、\(f'({x}_{1})\)を形式的微分で導関数にして①にあてはめると |
| | + | &font(Lime){（要：今後の考察 \(f'({x}_{1})=2{x}_{0}\)になる理由は良く考えた方が良さそう？？？自分自身よくわかってない。\(2{x}_{1}\)のような…）}; |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\ 2{ x }_{ 0 }=\lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 }-3-0 }{ { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } } } \\ \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ 2{ x }_{ 0 }({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })={ x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \\ \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ 2{ x }_{ 0 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \\ \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ -{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ -x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \quad \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }+3 } \quad \cdots ② \) |
| | + | |
| | + | ここからふたつの式の展開方法がある |
| | + | まず極限を利用して収束する値を②から求めてみるパターン |
| | + | \(\displaystyle \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }+3 } \) |
| | + | \(\displaystyle\ \rightarrow \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 0 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }+3=0 } \quad\) 片方の辺に集めて極限を適用すると |
| | + | \(\rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 1 }{ x }_{ 1 }+3=0\quad \quad \rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }-2{ x }_{ 1 }^{ 2 }+3=0\quad \quad \rightarrow -{ x }_{ 1 }^{ 2 }+3=0\quad \quad \rightarrow -{ x }_{ 1 }^{ 2 }=-3\quad \rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }=3\\ \rightarrow { x }_{ 1 }=\pm \sqrt { 3 } \) |
| | + | |
| | + | つまり極限を取って\({x}_{0}\)から\({x}_{1}\)へとぎゅ～っと近づけると\({x}_{1}\)は\(\sqrt { C } \)へと収束する。微分を理解するとこういう事が出来る |
| | + | 接線の傾きが得られる微分の形式的微分である導関数を利用して\(y=f({x}_{1})=0\)の時との連立方程式を組み「\({x}_{1}\)」を逆算してルートの値を求めている |
| | + | |
| | + | 極限から収束する値は分ったので今度はその具体的な値を計算する式を得てみる。②から\({x}_{1}\)に対する漸化式を作る。 |
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