2: 2015-06-04 (木) 22:13:00 osinko  |
3: 2015-06-05 (金) 01:28:58 osinko |
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| | この連立方程式を\({x}_{1}\)に対して解くと\({ x }_{ 1 }\ge \pm \sqrt { C } \)となる。以下で実際に解いてみる。仮に\(C\)を\(3\)として、\(f'({x}_{1})\)を形式的微分で導関数にして①にあてはめると | | この連立方程式を\({x}_{1}\)に対して解くと\({ x }_{ 1 }\ge \pm \sqrt { C } \)となる。以下で実際に解いてみる。仮に\(C\)を\(3\)として、\(f'({x}_{1})\)を形式的微分で導関数にして①にあてはめると |
| - | &font(Lime){（要：今後の考察 \(f'({x}_{1})=2{x}_{0}\)になる理由は良く考えた方が良さそう？？？自分自身よくわかってない。\(2{x}_{1}\)のような…）}; | + | &font(Lime){（要：今後の考察 \(f'({x}_{1})=2{x}_{0}\)になる理由は良く考えた方が良さそう？？？自分自身よくわかってない。基礎的な式に沿うならば\(2{x}_{1}\)のような…）}; |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\ 2{ x }_{ 0 }=\lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 }-3-0 }{ { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } } } \) |
| | + | \(\rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ 2{ x }_{ 0 }({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })={ x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \) &font(Lime){(この時、左辺まで極限の範囲を伸ばしているがこれは「して良い事」なのだろうか？？？)}; |
| | + | \( \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ 2{ x }_{ 0 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \) |
| | + | \( \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ -{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ -x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \) |
| | + | \( \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }+3 } \) … ② |
| | + | |
| | + | &font(Red){少し考えてみたのだが極限適用前と適用後では導関数の入力が変わるのではと考えてみた&br;極限適用前は傾きである\(f'(x)\)は\(f({x}_{0})\)であり適用後は\({x}_{0}\)→\({x}_{1}\)と近づくので\(f'({x}_{1})\)と変化する&br;書籍などで基礎的な式として紹介されている微分の式の左辺\(f'(a)\)は極限計算後の傾きを示していると考えられる？？？}; |
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| - | \(\displaystyle\ 2{ x }_{ 0 }=\lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 }-3-0 }{ { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } } } \\ \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ 2{ x }_{ 0 }({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })={ x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \\ \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ 2{ x }_{ 0 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \\ \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ -{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ -x }_{ 0 }^{ 2 }-3 } \quad \rightarrow \displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }+3 } \quad \cdots ② \) | |
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| | ここからふたつの式の展開方法がある | | ここからふたつの式の展開方法がある |
| | まず極限を利用して収束する値を②から求めてみるパターン | | まず極限を利用して収束する値を②から求めてみるパターン |
| - | \(\displaystyle \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }+3 } \) | + | \(\displaystyle\lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }+3 } \) |
| - | \(\displaystyle\ \rightarrow \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 0 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }+3=0 } \quad\) 片方の辺に集めて極限を適用すると | + | \(\displaystyle\rightarrow \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 0 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }+3=0 }\) 片方の辺に集めて極限を適用すると |
| - | \(\rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 1 }{ x }_{ 1 }+3=0\quad \quad \rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }-2{ x }_{ 1 }^{ 2 }+3=0\quad \quad \rightarrow -{ x }_{ 1 }^{ 2 }+3=0\quad \quad \rightarrow -{ x }_{ 1 }^{ 2 }=-3\quad \rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }=3\\ \rightarrow { x }_{ 1 }=\pm \sqrt { 3 } \) | + | \(\rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }-{ 2x }_{ 1 }{ x }_{ 1 }+3=0\) |
| | + | \(\rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }-2{ x }_{ 1 }^{ 2 }+3=0\) |
| | + | \(\rightarrow -{ x }_{ 1 }^{ 2 }+3=0\) |
| | + | \(\rightarrow -{ x }_{ 1 }^{ 2 }=-3\) |
| | + | \(\rightarrow { x }_{ 1 }^{ 2 }=3\) |
| | + | \(\rightarrow { x }_{ 1 }=\pm \sqrt { 3 } \) |
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| | つまり極限を取って\({x}_{0}\)から\({x}_{1}\)へとぎゅ～っと近づけると\({x}_{1}\)は\(\sqrt { C } \)へと収束する。微分を理解するとこういう事が出来る | | つまり極限を取って\({x}_{0}\)から\({x}_{1}\)へとぎゅ～っと近づけると\({x}_{1}\)は\(\sqrt { C } \)へと収束する。微分を理解するとこういう事が出来る |
| | 接線の傾きが得られる微分の形式的微分である導関数を利用して\(y=f({x}_{1})=0\)の時との連立方程式を組み「\({x}_{1}\)」を逆算してルートの値を求めている | | 接線の傾きが得られる微分の形式的微分である導関数を利用して\(y=f({x}_{1})=0\)の時との連立方程式を組み「\({x}_{1}\)」を逆算してルートの値を求めている |
| | | | |
| - | 極限から収束する値は分ったので今度はその具体的な値を計算する式を得てみる。②から\({x}_{1}\)に対する漸化式を作る。 | + | 極限から収束する値は分ったので今度はその具体的な実数値を計算する式を得てみる。②から\({x}_{1}\)に対する漸化式を作る |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\ \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { 2x }_{ 0 }{ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }^{ 2 }+3 } \) |
| | + | \(\displaystyle\ \rightarrow \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 }=\frac { { x }_{ 0 }^{ 2 }+3 }{ { 2x }_{ 0 } } } \) |
| | + | \(\displaystyle\ \rightarrow \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 }+3 }{ { x }_{ 0 } } \right) } \) |
| | + | \(\displaystyle\ \rightarrow \lim _{ { x }_{ 0 }→{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ 0 }+\frac { 3 }{ { x }_{ 0 } } \right) } \) |
| | + | |
| | + | ここで極限のついた「平方根を求めるバビロニア式アルゴリズム」「ニュートン法」に似た式が出てきた |
| | + | 極限は\({x}_{0}→{x}_{1}\)となっていて、これを漸化式にすると |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle\ x_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ n }+\frac { 3 }{ { x }_{ n } } \right) \) |
| | + | |
| | + | になる。この漸化式の\({x}_{n}\)に適当な値を入れて２～６回計算を繰り返すと\( \sqrt { 3 } \)の近似値が得られる |
| | + | どうやら極限と漸化式には密接な関係があるように思える。今後、漸化式と極限の関係を調べて行こうと思う |
| | + | |
| | + | memo.. |
| | + | 微積分は根底に数列に対する何らかの操作が含まれている。漸化式もその計算の度に出てくる値の数列なのかもしれない |
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