7: 2015-07-12 (日) 11:58:09 osinko  |
現: 2015-10-25 (日) 12:59:20 osinko |
| | &ref(gridline1_0.png); | | &ref(gridline1_0.png); |
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| - | ==TODO== | + | **以降メモ [#hec11342] |
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| | + | この要領で「虚数の情緒」P442～447までの流れをイラストレーターと手計算で追いかける。実際に手作業でイラストレータで作図すると恐ろしく頂点の位置の辻褄が合う |
| | + | P448～P449は[[等比数列の総和の公式:http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/?%E6%95%B0%E5%88%97%2F%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%83%94#h89d948d]]を別の側面から眺め説明している |
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| | + | ＜補足＞ |
| | + | 最新のイラストレーターで機能の名前が変わっている可能性があるのですが「オブジェクト -> パス -> アンカーポイントの追加」機能は便利です |
| | + | これを使うと"均等な間隔"でアンカーポイントを追加できます。作図に利用してください |
| | + | &ref(anchor1.png); |
| | + | この線分の間隔を数学的に数列で表すなら\(\left\{ 1,\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ { 2 }^{ 2 } } ,\frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } ,\frac { 1 }{ { 2 }^{ 4 } } ,\cdots \right\} =\left\{ 1,{ 2 }^{ -1 },{ 2 }^{ -2 },{ 2 }^{ -3 },{ 2 }^{ -4 },\cdots \right\} \)となる |
| | + | |
| | + | ***P499で式の変形が難しかったところ [#g0327d69] |
| | \( { k }_{ n }=\frac { 4 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \\ \rightarrow 3{ k }_{ n }=3\times \left( \frac { 4 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \\ \rightarrow 3{ k }_{ n }=4-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \\ \rightarrow \frac { 1 }{ 4 } 3{ k }_{ n }=\frac { 1 }{ 4 } \left( 4-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \\ \rightarrow \frac { 3 }{ 4 } { k }_{ n }=1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \\ \rightarrow { k }_{ n }=\frac { 4 }{ 3 } \left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right) \) | | \( { k }_{ n }=\frac { 4 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \\ \rightarrow 3{ k }_{ n }=3\times \left( \frac { 4 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \\ \rightarrow 3{ k }_{ n }=4-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \\ \rightarrow \frac { 1 }{ 4 } 3{ k }_{ n }=\frac { 1 }{ 4 } \left( 4-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \\ \rightarrow \frac { 3 }{ 4 } { k }_{ n }=1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \\ \rightarrow { k }_{ n }=\frac { 4 }{ 3 } \left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right) \) |
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| - | memo:放物線をベジェ曲線で描くその数学的仕組み、整合性を後で調べる | + | ***その内容の意味 [#qef97a27] |
| | + | ここでP448の\({ S }_{ n }\)を等比数列の総和の公式\(\displaystyle \frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \)に当てはめ考えると… |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle { k }_{ n }=\left\{ 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right\} \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle r=\frac { 1 }{ 4 } としてみると\) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) { k }_{ n\quad }=\quad \left\{ 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right\} -\left\{ \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ 2 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } +\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right\} \quad =\quad 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \) |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \rightarrow \quad { k }_{ n\quad }=\frac { 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } }{ 1-\frac { 1 }{ 4 } } \) |
| | + | |
| | + | 結果的に本と同じような式となる |
| | + | |
| | + | \(\displaystyle \frac { s_{ 0 }\left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 4 } } \quad =\quad \frac { s_{ 0 }\left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right) \times 4 }{ \left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) \times 4 } \quad =\quad \frac { 4s_{ 0 }\left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right) }{ 4-1 } \quad =\quad \frac { 4 }{ 3 } \left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n+1 } } \right) s_{ 0 }\) |
| | + | |
| | + | memo: |
| | + | 放物線をベジェ曲線で描くその数学的仕組み、整合性を後で調べる |
| | + | |
| | + | P450～452は\(\varepsilon \delta\)論法を使わずにアルキメデスの原則と二段階帰謬を使って収束を証明している |
| | + | アルキメデスの原則を細かく分解し証明したものが\(\varepsilon \delta\)論法の |
| | + | |
| | + | \(\forall \varepsilon >0\quad (\quad \exists \delta >0\quad (\quad \forall n\in \mathbb{N}\quad (\quad n>\delta \quad \Rightarrow \quad \left| { a }_{ n }-\alpha \right| <\varepsilon \quad ))))\quad \) |
| | | | |
| - | ***極限 [#a182dbf7] | + | と\(\displaystyle \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } } =\alpha \) 、「デデキント切断による実数の定義」となる |
| - | #jsmath | + | |
| - | ＜アルキメデスの原則を論理記号を使って数式化したもの＞ | + | |
| | | | |
| - | イプシロンデルタ論法を利用する | + | 資料： |
| - | \(\forall \varepsilon ,a\in\mathbb{R}\quad \quad \exists n\in \mathbb{N}\quad \varepsilon ,a>0\quad \Rightarrow \quad n\varepsilon >a\) | + | [[微積分と物理/イプシロンデルタ論法の機能考察]] |
| - | これを日本語に直すと「全ての正の実数\(\varepsilon,a\)に対して、ある自然数\(n\)が必ず存在し、\(n\varepsilon >a\)を満たす」となる | + | [[微積分と物理/実数の定義]] |
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| - | #navi | + | 最終的に、この放物線の中にある三角形の面積の扱いが重要になってくる点に注目 |
| | + | つまり、この三角形の合同と相似を利用すれば三角関数と対数計算が連携して機能するような事が可能となるのが予想できる |
| | + | いったいどのようにすれば、繋がるのだろうか。これはこの本の後半オイラーの公式の項で説明されているらしい |
![[PukiWiki]](http://unitylabo.s601.xrea.com/xoops/modules/xpwiki/image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
